Wie wird das berechnet?

Gesucht ist der geringste Abstand vom Radius zur gegenüberliegenden Kante.

Ich brauche eine einfache Formel, die ich in ein Excel-Tool packen kann. Das hat nichts mit irgendwelchen Schulaufgaben zu tun!

Answer 1

[mihisu]

Ich nenne den von dir gesuchten Abstand x im Folgenden d. [Sonst verwechselt man das im Folgenden evtl. mit einer x-Koordinate.]

Ich würde das ganze in einem Koordinatensystem betrachten. [Koordinatenursprung unten-links; x-Richtung nach rechts; y-Richtung nach oben]

Dann hat man zwei Punkte auf dem Kreis gegeben:

$P_1\left(\,0\,\middle|\,3\text{,}5\,\right)$

$P_2\left(\,20\,\middle|\,2\,\right)$

Außerdem ist der Kreisradius gegeben:

$r=45$

Betrachtet man einen Kreis mit Radius r und Kreismittelpunkt (x_M | y_M), so lässt sich der Kreis durch die folgende Gleichung beschreiben:

$\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2=r^2$

[Bemerkung: Dabei ist x hier nicht der von dir gesuchte Abstand, sondern die x-Koordinate eines Punktes (x|y) auf dem Kreis im Koordinatensystem.]

Mit den beiden gegebenen Punkten kann man ein Gleichungssystem aufstellen, welches man lösen könnte, um die Koordinaten des Kreismittelpunkts zu erhalten.

$[\text{G}_1]:\quad \left(0-x_M\right)^2+\left(3\text{,}5-y_M\right)^2=45^2$

$[\text{G}_2]:\quad \left(20-x_M\right)^2+\left(2-y_M\right)^2=45^2$

Der Kreismittelpunkt interessiert uns aber gar nicht direkt. Sondern wir möchten ja unseren gesuchten Abstand d (im Original: x) berechnen. Um diesen Abstand ins Spiel zu bringen, können eine weitere Gleichung aufstellen, indem wir erkennen, dass der Kreismittelpunkt in der Höhe y_M = r + d = 45 + d über dem Nullniveau liegt. [Alternativ könnten wir auch den Punkt (x_M | d) in die Kreisgleichung einsetzen.]

$\left[\text{G}_3\right]:\quad y_M=45+d$

Nun haben wir insgesamt ein Gleichungssystem mit den drei Gleichungen [G₁], [G₂], [G₃] und den drei Unbekannten x_M, y_M, d. Dieses Gleichungssystem können wir lösen, bzw. zumindest soweit lösen, bis wir die gesuchte Größe d gefunden haben. (x_M und y_M interessieren uns ja eigentlich nicht). Das Gleichungssystem könnte man nun einfach einen PC lösen lassen. Oder man löst das beispielsweise folgendermaßen von Hand...

Einsetzen von [G₃] in [G₁] liefert:

$\left[\text{G}_{1\text{b}}\right]:\quad \left(0-x_M\right)^2+\left(3\text{,}5-\left(45+d\right)\right)^2=45^2$

$\left[\text{G}_{1\text{c}}\right]:\quad x_M^2+\left(3\text{,}5-45-d\right)^2=45^2$

$\left[\text{G}_{1\text{d}}\right]:\quad x_M^2=45^2-\left(3\text{,}5-45-d\right)^2$

[Beim Ziehen der Quadratwurzel ist im Sachzusammenhang nur der positive x_M-Wert sinnvoll, da der Kreismittelpunkt offensichtlich im ersten Quadranten des Kooedinatensystems liegt.]

$\left[\text{G}_{1\text{e}}\right]:\quad x_M=\sqrt{45^2-\left(3\text{,}5-45-d\right)^2}$

Nun kann man dies und [G₃] in [G₂] einsetzen.

$\left[\text{G}_{2\text{b}}\right]:\quad \left(20-\sqrt{45^2-\left(3\text{,}5-45-d\right)^2}\right)^2+\left(2-\left(45+d\right)\right)^2=45^2$

Das ist jetzt eine Gleichung, in der nur noch der gesuchte Abstand d als Unbekannte vorkommt. Das Auflösen dieser Gleichung führe ich jetzt nicht aus, da die Antwort sowieso schon ziemlich lang geworden ist. Jedenfalls erhält man als Lösungen...

$d\approx 1\text{,}495549361\quad \vee\quad d\approx -85\text{,}99554936$

Dabei ergibt im Sachzusammenhang nur die positive Lösung Sinn.

Ergebnis: Für den gesuchte Abstand (im Originalbild mit x bezeichnet) erhält man...

$x\approx 1.4955$

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Alternativ könnte man das auch einfach in einer Geometrie-Software (beispielsweise GeoGebra) nachkonstruieren und dort die entsprechende Streckenlänge ausgeben lassen...

Comments

[VigarLunaris]

Vielen dank für die GeoGebra Seite. Kannte ich noch nicht sehr gelungenes Werkzeug!

[1n9d9c4]

Nochmal danke für deine Mühe.

Mir ist aber noch eine Sache aufgefallen. Eigentlich reicht es die Y-Koordinate vom Kreismittelpunkt zu ermitteln.

In diesem Fall wäre das ≈46,49,

Zieht man davon den Radius ab, kommt man auch auf die ≈1,49.

Answer 2

[BWLBoss]

Du musst eine Funktion daraus machen und ihr Minimum suchen.