Wie soll man das ausrechnen(rechenweg)?
3 Antworten
Hallo,
der Witz bei der Sache ist, daß Du erkennst, was da genau passiert.
Da die Formel für den Kreisumfang U=2πr lautet und ein Halbkreis deswegen die Länge πr besitzt, hat der erste Halbkreis eine Länge von π, denn r=1.
Der nächste Halbkreis hat eine Länge von π/2, denn dessen Radius ist nur halb so groß.
Dann kommt π/4, π/8 usw. Oben steht immer π, unten hast Du Zweierpotenzen mit aufsteigenden Exponenten von 2^0 bis 2^n.
Die Längen der Halbkreise summieren sich also zu π+π/2+π/4+...+π/2n auf und bilden damit eine sogenannte Reihe.
Gesamtlänge ist Reihensumme=π*(1+1/2+...+1/2^n)
Das π kannst Du vor die Summe ziehen:
π*Summe=1+1/2+1/4+...+1/2^n
Wenn Du das halbierst, kommst Du auf π*halbe Summe:
1/2+1/4+...+1/2^n
Wenn Du von π*Summe π/2*Summe abziehst, kommst Du auf
π/2*Summe, also auf (1+1/2+1/4+...+1/2^n)-(1/2+1/4+...1/2^n+1/2^(n+1))
Bis auf zwei Glieder hebt sich alles auf und es bleibt für π*halbe Summe:
1-1/2^(n+1)
Wenn n sehr groß wird, wird 1/2^(n+1) sehr klein, praktisch Null, und es bleibt für π*die halbe Summe als Ergebnis 1, für π*Summe daher 2.
Nun nehmen wir π wieder hinter die Summe und bekommen als Summe 2π, den Umfang eines Kreises mit Radius 1.
Alle diese Halbkreise summieren sich am Ende also zu einem kompletten Kreis, der den gleichen Radius hat wie der erste Halbkreis.
Herzliche Grüße,
Willy
Du brauchst die Formel für den Kreisumfang. Der Radius bzw Durchmesser der Halbkreise ist dir ja gegeben. Dann kannst du über die Formel den Kreisumfang ausrechnen und durch 2 teilen um die Länge einer "Schlangenlinie" zu erhalten. Dies wiederholst du dann entsprechend für die anderen Halbkreise und addierst die Ergebnisse aufeinander.
Grüße, Janik
Die roten Linien sind nichts anderes als die Umfänge mehrerer Kreise. Die Formel eines Kreisumfangs kennst du sicher. Die Radien der Kreise sind der Zeichnung zu entnehmen. Du musst nur die Einzelumfänge bestimmen und aufsummieren.