Wie soll ich überprüfen ob k und g sich in x=0 senkrecht schneiden?
Hallo ich komme leider nicht weiter bei der Nr 2(siehe Bild unten). Mein Ansatz war erstmal f(x) =g(x).
Da kommt dann raus x^3+x^2+2,5x+3=0 wie komme ich hier auf x (Satz vom Null Produkt und substitution funktioniert ja nicht)
Dann hab ich gedacht das ich ja die Bedingung überprüfen kann indem ich diese Formel amwende:f'(x) x g'(x) =-1
Und da kommt bei mir raus: - 0,5=-1 und das kann ja nicht stimmen
Bitte helft mir!
3 Antworten
In dem Punkt x=0 müsste das Produkt der Ableitungen -1 ergeben, also
f'(0)*g'(0)=-1
tut es das nicht, sind die auch nicht senkrecht.
einfahc ableitungen bilden, jeweils 0 einsetzen, multiplizieren und gucken ob es -1
ist.
kurz (oder lang) zum warum:
Am Einfachsten zu erklären über vektoren:
grundsätzlich kannst in dem punkt x=0 (wie in jedem anderen punkt auch)
zu jeder der funktionen eine tangente mit tangentengleichung finden,
deren ableitung gleich der funktionsableitung an der stelle ist.
also f'(0)=tangentensteigung bei x=0.
gleiches für g.
um den winkel zwischen den 2 funktionen dort zu finden, suchen wir den winkel zwishcen den tangenten.dazu nutzen wir vektoren.
grundsätzlich gilt :
wenn man au der tangente 1 nach rechts geht, geht man auch m nach oben.
das ist äquivalent dazu dass die steigung aka die ableitung der tangente m ist
was wiederum gleich f'(0) ist.
wenn du also auf der tangente 1 nahc rechts gehst, gehst du f'(0) nahc oben (bzw. unten je nach vorzeichen).
damit hast du ein steigungsdreieck.
um zum winkel zurückzukommen:
wir brauchen für jede gerade einen richtungsvektor, der darin liegt.
fangen wir mit f an:
wenn wir unser gerade betrahctetes steigungsdreieck angucken, liegt es nahe zu erkennen dass der vektor nf=(1,f'(0)) darin liegt.
gleichermassen finden wir
ng=(1,g'(0)) auf gleiche weise für die tangente von g.
wir haben also vektoren, die in die richtungen der 2 geraden zeigen.
wann sind vektoren senkrecht?
genau, wenn das skalarprodukt 0 ist, also wenn
nf*ng=0 ist
oder ausgeshcrieben:
(1,f'(0))*(1,g'(0))
=1*1+f'(0)*g'(0)=0
was das gleiche ist wie
f'(0)*g'(0)=-1
kennen wir also die Ableitung zweier Funktionenin einem schnittpunkt, so liefert der Ausdruck oben die bedingung die erfüllt werden muss damit die 2 graphen senkrecht zueinander sind and er stelle.
im übrigen muss nicht x=0 sein, der ausdruck gilt für alle schnittpunkte, die senkrecht aufeinander stehen.
Und da kommt bei mir raus: - 0,5=-1 und das kann ja nicht stimmen
Genau. Würde da eine ware Aussage rauskommen, wären sie senkrecht. 📐
f'(0) = -1/g'(0) und f(0) = g(0)
What the hell haha hab den ersten Absatz noch verstanden vielen dank aber der rest nicht wirklich, aber werde das demnächst mal analysieren weil mich das voll interessiert