wie sin(arctan(x)) = x/√(1+x²) beweisen?

Wir wissen, dass gilt tan(arctan(x)) = x. Somit ist es sinnvoll den Sinus als Funktion des Tangens zu bestimmen. Ausgangspunkt ist hierbei der Satz des Pythagoras

sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1

Dividiere nun durch sin(x)^2 auf beiden Seiten, so folgt

1 + (1/tan(x))^2 = (1/sin(x))^2

Umstellen nach sin(x) liefert somit final

sin(x)^2 = tan(x)^2/(1 + tan(x)^2)

--> sin(x) = tan(x)/sqrt(1 + tan(x)^2)

wobei dort bereits schon die Fallunterscheidung inkludiert ist. Abschließend setze nun x = arctan(y), so dass folgt

sin(arctan(y)) = y/sqrt(1 + y^2)

was zu zeigen war.

Das folgt aus



Setze einfach



und



Dann steht es da ;-)