wie sin(arctan(x)) = x/√(1+x²) beweisen?
2 Antworten
Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist
Wir wissen, dass gilt tan(arctan(x)) = x. Somit ist es sinnvoll den Sinus als Funktion des Tangens zu bestimmen. Ausgangspunkt ist hierbei der Satz des Pythagoras
sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1
Dividiere nun durch sin(x)^2 auf beiden Seiten, so folgt
1 + (1/tan(x))^2 = (1/sin(x))^2
Umstellen nach sin(x) liefert somit final
sin(x)^2 = tan(x)^2/(1 + tan(x)^2)
--> sin(x) = tan(x)/sqrt(1 + tan(x)^2)
wobei dort bereits schon die Fallunterscheidung inkludiert ist. Abschließend setze nun x = arctan(y), so dass folgt
sin(arctan(y)) = y/sqrt(1 + y^2)
was zu zeigen war.
Halbrecht
bestätigt
Von
Experte
Von gutefrage auf Grund seines Wissens auf einem Fachgebiet ausgezeichneter Nutzer
Mathematik
Das folgt aus
Setze einfach
und
Dann steht es da ;-)