Wie löst man diese Mathematische Aufgabe?
Von einem Quadrat ABCD ist die Diagonale durch die Punkte B=(2/-6) und D=(6/6) gegeben. Berechne die Koordinaten der beiden anderen Eckpunkte und die Seitenlänge dieses Quadrats.
1 Antwort
Hallo
Zeichne mal die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein. Du erkennst dann ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten 4 und 12.
d² = 12² + 4² = 144 + 16 = 160
d = Wurzel(160) = 12.65 (gerundet)
Dasselbe bekommt man durch Vektorrechnung heraus:
d = D - B = (6 | 6) - (2 | -6) = (4 | 12 )
|d| = Wurzel(4² + 12²)
Für ein Quadrat gilt ja:
d² = a² + a² = 2 a²
a² = d²/2 = 80
a = Wurzel(80) = 8,94 (gerundete Kantenlänge des Quadrats)
Hallo noch mal
Ich habe inzwischen eine saubere Zeichnung auf Millimeterpapier gemacht.
Demnach liegt Punkt A bei (-2 | 2) und Punkt C bei (10 | -2). Aber wir sollten ja rechnen. Am einfachsten geht es offenbar mit Hilfe der Vektorrechnung:
gegebene Diagonale d = (4 | 12).
Zweite Diagonale e = (12 | -4),
denn sie steht senkrecht auf d und das Innere Produkt (Skalarprodukt) beider Diagonalen muss gleich null sein:
(4 | 12) * (12 | -4) = 36 - 36 = 0
Beide Diagonalen kreuzen sich in ihrer Mitte (nach Zeichnung bei x = 4, aber unwichtig).
A = (2 | -6) + 1/2 * (4 | 12) - 1/2 * (12 | -4) = (-2 | 2)
C = (2 | -6) + 1/2 * (4 | 12) + 1/2 * (12 | -4) = (10 | -2)
Fettgedruckte Buchstaben sind Vektoren!
Sory für die Darstellug der Vektoren in dieser unüblichen Form!
Das Gemeine ist ja, dass das Quadrat schief im Koordinatensystem liegt.
Du brauchst zuerst eine ordentliche Skizze und musst dann über tan, sin und cos
die Winkel der zweiten Diagonale im Quadrat ausrechnen, die ja senkrecht auf der ersten Diagonale steht, also einen Winkel von 90° mit dieser bildet. Die Punkte A und C begrenzen diese Diagonale. Die Hypotenuse ist hier die Hälfte der Diagonale
Hast du den Winkel, kannst du die Koordinaten über sin und cos ausrechnen.
In meiner groben Skizze liegt der Schnittpunkt beider Diagonalen genau auf der x-Achse, das scheint mir hilfreich zu sein...
Die Punkte A, B, C und D liegen in dieser Reihenfolge, wenn du entgegen dem Uhrzeigersinn das Quadrat umwanderst.