Wie leitet man die Übertragungsfunktion eines OPV her?
Hi, ich hoffe von euch kann mir jemand weiterhelfen, denn mein Professor stellt keine Lösungen zum Vergleich online. Es geht um z.B. folgende Schaltung eines idealen OPVs aus der die Übertragungsfunktion hergeleitet werden soll:
Ich würde so herangehen:
- Eingangs- und Rückkopplungsimpedanz festlegen, hier:
- In Funktion... ...eintragen
- Mein Ergebnis wäre: Ist diese Herangehensweise richtig?
1 Antwort
Das Ergebnis ist richtig - es ist aber keine "Herleitung", denn in Punkt 2 gehst du praktisch schon vom Ergebnis aus. Du setzt ja einfach ein für Z1 und Z2.
Zwei Möglichkeiten:
1.) Der OPV ist ideal und es fließt kein Strom in den Eingang, der wegen der unendlich großen Verstärkung praktisch eine verschwindende Eingnags-Differenzspannung Un braucht. Also: Un=0
Deshalb: Ie=Ue/R1 und Ia=Ua/Z2 mit Ie=-Ia.
Daraus ergibt sich dann der Ausdruck G=-Z2/R1
2.) Überlagerungssatz:
Un1=Ue*Z2/(R1+Z2) und Un2=Ua*R1/(R1+Z2)
Dann: Un1+Un2=Un=0 setzen und nach Ua/Ue auflösen.
Beide Möglichkeiten setzen aber voraus, dass Du weißt, dass Un=0 ist für idealen OPV.
3.) Man kann auch zunächst mit endlicher Verstärkung Vo (und auch Un endlich) rechnen und dann zum Schluss im Ausdruck Ua/Ue die Verstärkung Vo unendlich werden lassen . Dabei ergibt sich nach beiden Methoden von oben dann:
Ua/Ue=-Hf*Vo / (1+Hr*Vo)
(Das ist übrigens die klassische Gegenkopplungsformel der Regelungstechnik)
mit Hf=[Z2/(R1+Z2)] und Hr=-[R1/(R1+Z2)].
Für Vo gegen unendlich (Grenzübergang) kommt dann wieder G=-Z2/R1 raus.
Nein, das mit "Nenner durch Zähler" geht nicht umgekehrt, da es immer mehrere formale Lösungen dafür gibt (und würde auch nur für invertierende Schaltungen erlaubt sein).
Beispiel: Bei G=-1/(2+sRC) muss erstens beim "s" eine Zeitkonstante RC stehen, damit sRC dimensionslos wird und zu "1" addiert werden darf.
Man könnte z.B durch sC dividieren und erhält:
G=-(1/sC) / ([2/sC + R)] .
Zähler: Kondensator C und Nenner: Reihenschaltung von R und C.
Das funktioniert aber nicht, denn wir haben einen Fehler gemacht: Die Frequenz "s" darf nicht Null werden (man darf nie durch Null dividieren). Aber beim Tiefpass MUSS die Schaltung bei s=0 funktionieren.
Auf den richtigen Ausdruck kommst Du zwar durch geschicktes Erweitern, ABER: Dazu musst Du das gewünschte Ergebnis (mit der R-C-Parallelschaltung) schon vorher kennen!
Super danke dir, das hat mir sehr geholfen! Kannst du mir bei einer anderen Frage dazu auch noch helfen? Da geht es rückwärts - wenn man aus einer Übertragungsfunktion eine Schaltung zeichnen soll (wieder mit dem idealen OPV). Bspw. mit der Funktion G(s) = 1/s+2...kann ich da vereinfacht annehmen, dass der Zähler mir die Impedanzen des Eingangs und der Nenner die der Rückkopplung gibt? Sprich ich hätte vor dem Eingang einen ohmschen Widerstand und in der Rückkopplung einen Kondensator (s) und einen ohmschen Widerstand (parallel?)?