Antwort Anregung Übertragungsfunktion Sinus?

1. Berechnen Sie die Antwort y(t) auf eine Anregung mit sin(2t) des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s)=s/(s+2)(s-2).
2. Ermitteln Sie die Antwort y(t) auf eine Anregung mit sin(t) des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s)=[(s+j)(s-j)]/(s+1).

Answer 1

[poseidon42]

1.)

G(s) = s/((s + 2)*(s - 2))

W(s) = L{ sin(2t) } = 2/(s² + 4)

Entsprechend folgt die Ausgangsfunktion Y(s) zu:

Y(s) = G(s)*W(s) = s/((s + 2)*(s - 2)) * 2/(s² + 4)

Eine entsprechende Partialbruchzerlegung liefert:

Y(s) = A/(s + 2) + B/(s - 2) + (Cs + D)/(s² + 4)

mit A = lim(s->-2){ Y(s)*(s + 2) } = (-2)/(-4) * 2/(4 + 4) = 1/8

und B = lim(s-> 2){ Y(s)*(s - 2) } = 2/4 * 2/(4 + 4) = 1/8

Für s = 0 folgt:

Y(s = 0) = 0 = (1/8)/2 + (1/8)/(-2) + D/4 ---> D = 0

Und für s = 1 folgt schließlich:

Y(s = 1) = 1/(3*(-1)) * 2/(1 + 4) = (1/8)/3 + (1/8)/(-1) + C/5

--> C = -0.25

Wir erhalten damit final als Antwort:

Y(s) = (1/8)/(s + 2) + (1/8)/(s - 2) + (-0.25)/(s² + 4)

Und damit durch Rücktransformation in den Zeitbereich:

y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.5 * sin(2t)

2.)

G(s)=[(s+j)(s-j)]/(s+1) = (s² + 1)/(s + 1)

W(s) = L{ sin(t) } = 1/(s² + 1)

Das Ausgangssignal folgt zu

Y(s) = G(s)*W(s) = 1/(s + 1)

Und durch Rücktransformation in den Zeitbereich zu

y(t) = e^(-t)

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)

Comments

[michiwien22]

>Und damit durch Rücktransformation in den Zeitbereich:

y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.5 * sin(2t)

Sicher?

ich komme auf

y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 1/8 * cos(2t)

Das sieht man bereits am eingeschwungenen Zustand

F(w) = - jw/(w²+4)

Für w=2 bekommen wir

F(2) = -j2/(8) = -j/4

Aus dem sin wird daher ein -cos...

[poseidon42]

@michiwien22

Danke für die Anmerkung. Ich habe einfach falsch resubstituiert ... :

Y(s) = (1/8)/(s + 2) + (1/8)/(s - 2) + (-0.25)s/(s² + 4)

Hier wurde in der obigen Ausführung der Faktor s vor dem C vergessen bei der Resubstitution. Mit L{ s/(s² + 4) } = cos(2t) , folgt damit also wie von dir bereits erwähnt:

y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.25 * cos(2t)

[michiwien22]

@poseidon42

-1/4 * cos(2t) meinte ich oben natürlich. Nun passt es auf beiden Seiten.

(2) stimmt sowieso.

Answer 2

[michiwien22]

Ich komme bei (1) auf die Schnelle auf

$\frac{1}{8}e^{2t}+\frac{1}{8}e^{-2t}-\frac{1}{4}\cos\left(2t\right)$

Möglicherweise hat poseidon hier irgendwo einen kleinen Fehler drin. Ich habe bei ihm gepostet.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ausbildung Elektronik/Nachrichtentechnik, Schaltungstechnik