Antwort Anregung Übertragungsfunktion Sinus?
- Berechnen Sie die Antwort y(t) auf eine Anregung mit sin(2t) des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s)=s/(s+2)(s-2).
- Ermitteln Sie die Antwort y(t) auf eine Anregung mit sin(t) des Systems mit der Übertragungsfunktion G(s)=[(s+j)(s-j)]/(s+1).
2 Antworten
1.)
G(s) = s/((s + 2)*(s - 2))
W(s) = L{ sin(2t) } = 2/(s² + 4)
Entsprechend folgt die Ausgangsfunktion Y(s) zu:
Y(s) = G(s)*W(s) = s/((s + 2)*(s - 2)) * 2/(s² + 4)
Eine entsprechende Partialbruchzerlegung liefert:
Y(s) = A/(s + 2) + B/(s - 2) + (Cs + D)/(s² + 4)
mit A = lim(s->-2){ Y(s)*(s + 2) } = (-2)/(-4) * 2/(4 + 4) = 1/8
und B = lim(s-> 2){ Y(s)*(s - 2) } = 2/4 * 2/(4 + 4) = 1/8
Für s = 0 folgt:
Y(s = 0) = 0 = (1/8)/2 + (1/8)/(-2) + D/4 ---> D = 0
Und für s = 1 folgt schließlich:
Y(s = 1) = 1/(3*(-1)) * 2/(1 + 4) = (1/8)/3 + (1/8)/(-1) + C/5
--> C = -0.25
Wir erhalten damit final als Antwort:
Y(s) = (1/8)/(s + 2) + (1/8)/(s - 2) + (-0.25)/(s² + 4)
Und damit durch Rücktransformation in den Zeitbereich:
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.5 * sin(2t)
2.)
G(s)=[(s+j)(s-j)]/(s+1) = (s² + 1)/(s + 1)
W(s) = L{ sin(t) } = 1/(s² + 1)
Das Ausgangssignal folgt zu
Y(s) = G(s)*W(s) = 1/(s + 1)
Und durch Rücktransformation in den Zeitbereich zu
y(t) = e^(-t)
Danke für die Anmerkung. Ich habe einfach falsch resubstituiert ... :
Y(s) = (1/8)/(s + 2) + (1/8)/(s - 2) + (-0.25)s/(s² + 4)
Hier wurde in der obigen Ausführung der Faktor s vor dem C vergessen bei der Resubstitution. Mit L{ s/(s² + 4) } = cos(2t) , folgt damit also wie von dir bereits erwähnt:
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.25 * cos(2t)
-1/4 * cos(2t) meinte ich oben natürlich. Nun passt es auf beiden Seiten.
(2) stimmt sowieso.
Ich komme bei (1) auf die Schnelle auf
Möglicherweise hat poseidon hier irgendwo einen kleinen Fehler drin. Ich habe bei ihm gepostet.
>Und damit durch Rücktransformation in den Zeitbereich:
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 0.5 * sin(2t)
Sicher?
ich komme auf
y(t) = (1/8)*e^(-2t) + (1/8)*e^(2t) - 1/8 * cos(2t)
Das sieht man bereits am eingeschwungenen Zustand
F(w) = - jw/(w²+4)
Für w=2 bekommen wir
F(2) = -j2/(8) = -j/4
Aus dem sin wird daher ein -cos...