Funktionswert mit sinus im Kopf berechnen?

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4 Antworten

y=f(x)=sin(x) Nullstellen bei x1=0 und x2=pi und x3=2*pi

Die Funktion hat 2 "Halbwellen",eine positive und eine negative.Die Extrma bilden diese Halbwellen ,Maximum" (oben) und "Minimum" (unten).

1 Periode kann man durch 4 gleiche Abschnitte aufteilen. Es ergeben sich so die Extrema

2*pi/4=1/2*pi pi/2=90°

"Maximum" bei pi/2 Nullstelle bei x=pi

"Minimum" bei 3/2 *pi Nullstelle bei x=2*pi

bei pi/4=45° also 90°/2=45°

siehe dazu auch die Vektorstellungen im Einheitskreis im Mathe-Formelbuch.Da braucht man nur abschreiben.

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Im Bogenmaß ist der Kreis: 2 π = 360°
                                            π = 180°

Mit sin (π/6) = sin 30° wärst du fein 'raus. Das ist 0,5
Und das weiß man ja allgemein.

π/4 = 45°
Den Wert kennt man vielleicht für den Tangens auswendig: 1

Für 45° gilt aber am Einheitskreis: sin 45° = cos 45°, weil da ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck entsteht. Dessen Hypotenuse ist 1.
Der Sinuswert ist das y-Stück, der Kosinus das x-Stück.

Mit Pythagoras folgt     y₀² + x₀²                 = 1²
                                   sin² 45° + cos² 45° = 1²
                                   sin² 45° + sin² 45°  = 1
                                    2 sin² 45°             = 1       | /2
                                       sin² 45°             = 1/2    | √
                                        sin 45°             = 1 / √2
oder wenn ich den Nenner
rational mache:                  sin 45°             = (√2) / 2
                                                               = 1/2 √2

 
 ---

Im Kopf rechnen, das würde ich nicht unterschreiben.
Aber mit einem Zettel ...                      

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Kommentar von Volens
04.02.2017, 18:13

Am besten: du machst dir eine Skizze, um zu sehen, wo am Einheitskreis Sinus y₀ und Kosinus x₀ auftreten.

Denn soo einfach ist es auch wieder nicht!

1

Eigentlich ganz einfach. Erinnere dich daran, was ein Winkel von pi/4 im Bogenmaß bedeutet, und an den Satz des Pythagoras.

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pi entspricht 180°

pi/4 entspricht 45°

Es handelt sich also im Einheitskreis um ein rechtwinklig gleichschenkliges Dreieck.

1² = a² + a²

1 = 2*a²

1/2 = a²

a = Wurzel (1/2)

a = 1 / Wurzel 2          mit Wurzel 2 erweitert erhält man

a = 1/2 * Wurzel 2

Im Einheitskreis:

sin pi/4 = Gegenkathete / Hypotenuse

sin pi/4 = a / 1

sin pi/4 = 1/2 * Wurzel 2

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