Wie lassen sich die Formel für die Gesamtwiderstände in den Stromkreisen herleiten?
Hallo, Unser Physik Lehrer besteht leider darauf dass ich ihm erkläre woher denn die Gleichungen
R(Gesamt) = R1 + R2 +R3 ...+ Rn und 1/R(Gesamt) = 1/R1 + 1/R2 + ... 1/Rn
kommen. Dabei geht es um den unverzweigten und den verzweigten Stromkreis. Ich habe sehr lange gesucht aber keine Seite hat eine Antwort auf so eine Frage. Ich weiß das I überall im Stromkreis gleich ist und wie sich die Spannung U an den einzelnen Widerständen berechnet aber woher diese 2 Gleichungen kommen sagt mir das leider auch nicht. Gibt es irgendeine logische Herleitung für diese zwei Formeln ?
Vielen Dank schonmal
3 Antworten
äh naja in Reihenschaltung gilt ja immer I=U1/R1, I=U2/R2, I=U3/R3 usw
und U gesamt in einer Reihenschaltung ist ja gleich I*Rgesamt
und nach dem zweiten kirchhoffschen Gesetz gilt U=U1+U2+U3 usw...
setzt man die ersten 4 Gleichungen in die letzte ein erhält man
I*R=I*R1+I*R2+I*R3 das dividierst du durch I und hast es
Bei der Parallelschaltung hingegen gilt
U=I1*R1, U=I2*R2, U=I3*R3
Des Weiteren gilt Igesamt = U/Rgesamt
Nach dem ersten Kirchhoffschen Gestz gilt : I = I1+I2*I3
setzt man die ersten 4 Gleichungen wieder ein erhält man..
U/Rgesamt=U/R1+U/R2+U/R3 das dividierst du durch U und erhälst 1/Rgesamt=1/R1+1/R2+1/R3
endlich kann ich mal mein elektrotechnik-wissen anwenden haha
was wie kann der von dir erwarten dass du das erklären kannst wenn du ihr die kirchhoffschen sätze nicht mal hattet..
Tjaa mit unserem Physiklehrer ist das leider so eine Sache ... er ist zwar eigentlich ganz nett aber der Unterricht ist nicht gerade gut - freundlich ausgedrückt
das lässt sich über die Kirchhoffschen Gesetze und dem Ohmschen Gesetz herleiten.
-Der Strom zwischen zwei Knoten ist immer konstant, sodass für die Spannungsanteile stets gelten muss I*R1+ I*R2+ I*R3....
I ausgeklammert: I (R1+R2+R3...)
und für die Gesamtspannung zwischen den zwei Knoten muss gelten nach ohmschen Gesetz: U = I * Rges --> Rges =R1+R2.....
Es geht auch über die Formeln mit denen man aus spezifischem Widerstand ρ, der Länge l und der Querschnittsfläche A den Widerstand R ausrechnet
(falls ihr das schon hattet).
Der spezifische Widerstand ist eine Materialkonstante.
Danach ist:
ρ
R = --- * l
A
(oder in Worten: je länger - desto größer der Widerstand, je größer der Querschnitt, desto kleiner der Widerstand).
Hier mal der Beweis für die Serienschaltung:
Die Frage: was ist Rg, wenn ich R1 und R2 in Reihe schalte?
Nimmt man zwei Widerstände R1 und R2, so gilt nach obigem Gesetz:
ρ1
R1 = -- * l1
A1
ρ2
R2 = -- * l2
A2
wenn sie den gleichen Querschnitt und das selbe Material hätten, wäre es leicht auszurechnen: man müsste lediglich einen Widerstand der Länge l1+l2 nehmen (und wenn Du das tust, in obige Formel einsetzt und ausmultiplizierst kommt sofort R1+R2 heraus).
Für einen generellen Beweis (mit beliebigen Querschnitten und beliebigen Materialien), zunächst ein Trick:
wir multiplizieren die rechte Seite der zweiten Formel mit einem Konstanten Faktor C, und dividieren diesen gleich wieder heraus (indem mit dem Kehrwert wieder multipliziert wird).
C wird so gewählt, daß sich A2 und ρ2 herauskürzen, und ρ1 sowie A1 übrig bleiben, wenn man die rechte Seite der zweiten Formel damit multipliziert (unten wird erklärt, was das physikalisch bedeutet):
A2 * ρ1
C = -----------
A1 * ρ2
A2 * ρ1 ρ2 A1 * ρ2
R2 = ---------- * --- * l2 * -----------
A1 * ρ2 A2 A2 * ρ1
und kürzen vorne:
1 * ρ1 1 A1 * ρ2
R2 = ---------- * --- * l2 * -----------
A1 * 1 1 A2 * ρ1
es bleibt:
ρ1 A1 * ρ2
R2 = ---- * l2 * -----------
A1 A2 * ρ1
jetzt ersetzen wir l2 durch ein neues l2':
A1 * ρ2
l2' = l2 * -----------
A2 * ρ1
und erhalten:
ρ1
R2 = -- * l2'
A1
(in Worten: wir errechnen, wie groß l2' sein müsste, damit bei Material ρ1 und Querschnitt A1 der Widerstand R2 herauskäme)
Somit haben wir jetzt zwei Widerstände mit gleichem Material und gleichem Querschnitt, und können sie (wegen Reihenschaltung) durch einen längeren mit der Länge l1 + l2' ersetzen:
ρ1
Rg = -- * (l1 + l2')
A1
ausmultiplizieren:
ρ1 ρ1
= --- * l1 + --- * l2'
A1 A1
Der erste Term ist wieder R1, im zweiten ersetzen wir l2' wieder:
ρ1 A1 * ρ2
= R1 + ---- * l2 * -----------
A1 A2 * ρ1
kürzen:
1 1 * ρ2
= R1 + ---- * l2 * -----------
1 A2 * 1
ρ2
= R1 + l2 * -----
A2
und R2 wieder einsetzen:
= R1 + R2
qed.
Analog geht der Beweis für die Parallelschaltung;
hier muss man die Widerstände mit Hilfe eines Konstanten Faktors C auf die selbe Länge bringen (+ selbes Material), damit man die Querschnitte addieren kann, und dann analog vorgehen (ist ein bisschen komplizierter, und ich habe jetzt auch keine Lust und Zeit mehr).
Vielleicht machst Du es selbst, oder ein anderer hier im Forum ist so nett...
Hey - vielen vielen Dank für die Antwort - von dem Kirchhoffschen Gesetzt hatte ich bis heute noch garnichts gehört muss ich gestehen. Aber so macht das alles auch Sinn - vielen Dank ! :)