Wie lang ist der kürzeste Weg? Funktionen!?
- Vom Parkplatz an der Position P(0 I 0,5) soll ein möglichst kurzer Zugangsweg zum Flussufer gebaut werden (1LE = 100m). Der Fluss kann beschrieben werden durch die Funktion f(x) = 2 - 0,5x². Wie lang ist der kürzeste Weg?
Hoffe, dass einer von euch vielleicht in der Lage ist, mir bei dieser Aufgabe zu helfen. Großes Dankeschön im Voraus! ♡
4 Antworten
Ich habe diese Aufgabe in meine Aufgabensammlung aufgenommen,wegen ihrer Besonderheit.
Es ergeben sich 2 Normalengleichungen
f1n(x)=x+0,5 schneidet f(x) bei xo=1 und steht dort senkrecht auf f(x)
f2n(x)=-x+0,5 schneidet f(x) bei xo=-1 und steht dort senkrecht auf f(x)
Abstand der beiden Punkte d=Wurzel(x2-x1)^2+(y2-y1)^2)
x1=0 und y1=0,5
f1n(1)=1+0,5=1,5 ist y2=1,5 eingesetzt
d=Wurzel(1-0)^2+(1,5-0,5)^2)=1,4142 ist also kleiner 1,5
mit f2n(-1)=-1*-1+0,5=1,5
d=Wurzel(-1-0)^2+(1,5-0,5)^2)=1,4142
Also gibt es 2 gleich lange Wege.
Hallo,
der kürzeste Weg ist der, der senkrecht auf eine Tangente der Funktionskurve trifft.
Du suchst also eine Strecke, die von Punkt (0|0,5) senkrecht auf die Parabel trifft.
Diese Strecke liegt auf einer Geraden, die zum einen durch diesen Punkt (0|0,5) geht, und zum anderen als Steigung den negativen Kehrwert der Steigung der Parabel an der Stelle besitzt, an der sie die Parabel schneidet.
Die Steigung der Parabel ist durch die erste Ableitung
f'(x)=-x gegeben.
Die Steigung der gesuchten Geraden muß demnach der negative Kehrwert 1/x sein.
Da eine allgemeine Geradengleichung y=mx+b lautet mit Steigung m und y-Abschnitt b, kennen wir b, nämlich 0,5, weil die Gerade dort die y-Achse schneidet und m kennen wir auch: m=1/x
Die Geradengleichung lautet also y=(1/x)*x+0,5=1,5.
Bei y=1,5 trifft die gerade also senkrecht auf die Parabel.
Für welches x gilt f(x)=1,5?
Löse die Gleichung 1,5=2-0,5x² nach x auf:
0,5x²=0,5
x²=1
x=±1
Die beiden Punkte, an denen die Gerade durch (0|0,5) senkrecht die Parabel schneidet, sind also (1|1,5) und (-1|1,5)
Für x=1 lautet die Geradengleichung y=x+0,5, denn f'(1)=-1, m ist daher 1 (negativer Kehrwert);
für x=-1 lautet die Geradengleichung y=-x+0,5.
Der Abstand zwischen (0|0,5) und (1|1,5) ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der y-Differenz zwischen beiden Punkten und der x-Differenz,
also die Wurzel aus ((1,5-0,5)²+(1-0)²)=Wurzel (1+1)=Wurzel (2)
Herzliche Grüße,
Willy
Es gibt noch einen alternativen Weg:
Du betrachtest die Verbindung zwischen P (0|0,5) mit irgendeinem Punkt auf der Parabel als die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den
Katheten f(x)-0,5 und x-0
Die Hypotenuse hat dann nach dem Satz des Pythagoras folgende Länge:
Wurzel aus ((2-0,5x²-0,5)²+x²)
Du hast also eine von x abhängige Funktion der Streckenlänge:
s(x)=((1,5-0,5x²)²+x²)^(1/2)
Um die minimale Strecke herauszufinden, setzt Du die erste Ableitung von s(x) auf Null.
Du leitest nach der Kettenregel ab. Das Doppelte der Wurzel landet im Nenner, die Ableitung des Terms unter der Wurzel ist der Zähler.
Es reicht, diesen auf Null zu setzen.
Auch so kommst Du auf die Lösungen x=±1.
Willy
P(0/0,5) also bei x=0 und y=0,5
f(0)=-0,5*0^2+2=2
bedeutet der Punkt P(0/0,5) leigt auf der y-Achse und innerhalb der Parabel
kleinster Abstand ist die "Normale",die f(x) in einen 90° Winkel schneidet.
die Normale ist die y-Achse also Abstand d=2-0,5=1,5
Nun kann man noch die Normale ermitteln,mit der Formel
yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)
hier ist xo die Schnittstelle mit der Funktion f(x)=-0,5*x^2+2
f´(x)=-1*x eingesetzt und fn(0)=0,5
fn(0)=0,5=-1/(-1*xo)*(0-xo)+(-0,5*xo^2+2)
fn(0)=0,5=--xo/xo-0,5*xo^2+2
0=-1-0,5*xo^2+2-0,5
0=-0,5*xo^2+0,5 ergibt x1,2=+/- Wurzel(1)=+/- 1
mit x1=-1 ergibt fn(x)=....
Normalengleichung yn=fn(x)=1*x+0,5
Dieses Ergbnis mußt du noch überprüfen,indem du eine zeichnung machst.
Den Graphen f(x)=-0,5*x^2+2 zeichnen und den Punkt P(0,0,5) einzeichnen und dann ausmessen.
Danke, dass ihr versucht habt, mir bei dieser Aufgabe zu helfen. Allerdings weiß ich nicht, wie ich das als Lösung (Lösungsweg) verpacken soll, weil ich echt keine Ahnung davon oder genauer gesagt generell von Mathe habe. Es wäre echt sehr hilfreich, wenn ihr mir dahingehend nochmals helfen könntet. Insofern dies nicht zu viel verlangt ist. :)