Wie kriege ich hier die Äquivalenzklasse raus?
Hallo.
Folgende Aufgabe ist gegeben: Ich soll die Äquivalenzklasse bestimmen. Ich tue mich soo schwer mit dem Thema und ich verstehe ehrlich gesagt auch nicht wieso. Kann mir bitte jemand erklären, wie ich auf die Lösung komme. Kann mir auch jemand sagen, wie ich solche Aufgaben einfach und schnell berechnen kann. Wie genau muss ich da vorgehen? Ich schreibe bald eine Klausur darüber und ich stehe total auf dem schlauch!
Ich bin echt für jede Hilfe Dankbar!!
2 Antworten
Du musst dir die Definition der Relation genau anschauen. Die ist natürlich in jeder Aufgabe eine andere, daher kann man kein Kochrezept angeben, sondern man muss sich jedes Mal überlegen, was die Definitionen genau bedeuten.
Was ist die Grundmenge? Alle 3-Tupel von Elementen aus M, bei denen kein Wert mehr als einmal vorkommt. Beispiele sind z. B. (1,2,3) oder (3,4,1) aber nicht (1,2,1) (weil die 1 doppelt vorkommt) oder (2,2,2) (weil die 2 sogar dreimal vorkommt). Insbesondere sind (1,2,3) und (2,3,1) verschiedene Tupel, obwohl die Zahlen dieselben sind, denn beim Tupel kommt es ja auf die Reihenfolge drauf an.
Wann sind nun zwei davon äquivalent? Genau dann, wenn sie eben dieselben Zahlen enthalten. D. h. (1,2,3) und (2,3,1) sind zwar verschiedenen Tupel, da sie aber die selben Zahlen enthalten, sind sie äquivalent, so ist das hier definiert.
Jetzt ist das Tupel (2,3,5) gegeben. Äquivalent dazu sind eben alle Tupel, die aus den Zahlen 2, 3 und 5 gebildet werden können - und das sind genau die sechs, die da in der Klammer stehen.
Und bei b musst du dir überlegen, wie viele Möglichkeiten es gibt, drei verschiedene Zahlen aus fünf Zahlen ohne Betrachtung der Reihenfolge auszuwählen - denn jede Möglichkeit ergibt eine Äquivalenzklasse.
Immer genau die Definitionen lesen. Es gibt keine Allgemeine Formel für die Anzahl der Äquivalenzklassen, man muss immer verstehen, was genau passiert.
Zu deinem Beispiel: WAS ist die Grundmenge Ω? Alles Elemente der Äquivalenzklasse müssen natürlich auch Elemente der Grundmenge sein, daher musst du dir zuerst klar machen, was die Grundmenge ist. Da steht:
{(a1,a2,a3) ∈ {1,2,3,4}3 : a1 ≤ a2 ≤ a3}
Du kannst also nicht alle Tripel nehmen, sondern nur die, für die auch die Bedingung a1 ≤ a2 ≤ a3 erfüllt ist.
Ω = {(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), (1,1,4), (1,2,2), (1,2,3), (1,2, 4), (1,3,3), (1,3,4), (1,4,4) ... }
Klarer? (1,4,1) z. B. gehört nicht zu Ω, kann also auch nicht in einer Ä-Klasse liegen.
Es gibt auch nicht vier Äquivalenzklassen, weil 4 über 3 gleich vier ist, sondern weil es vier Möglichkeiten gibt, den zweiten Wert des Tupels zu besetzen (nämlich 1, 2, 3 oder 4). Daher auch hier: nein, n über k ist nicht immer die Anzahl der Äquivalenzklassen.
Jetzt zur Frage der Ä-Klasse von (1,4,4): Gesucht sind die Elemente von Ω, für die der zweite Wert des Tupels gerade 4 ist. Ist der zweite Wert 4, so muss auch der dritte Wert 4 sein (warum?). Der erste Wert dagegen kann beliebig sein (warum?). Also sind in der Äquivalenzklasse von (1,4,4) die Tupel
(1,4,4), (2,4,4), (3,4,4) und (4,4,4)
enthalten. Das Beispiel ist interessant, weil hier die unterschiedlichen Äquivalenzklassen eben nicht die gleiche Anzahl von Elementen haben. So enthält die Äquivalenzklasse von (1,2,2) die Elemente
(1,2,2), (1,2,3), (1,2,4), (2,2,2), (2,2,3), (2,2,4).
Kannst du die Ä.Klasse von (1,3,3) bestimmen?
Ich glaube ich habs verstanden 😳 Zu deiner Frage, Äquivalenzklassen von (1,3,3):
(1,3,3) , (2,3,3) , (3,3,3) und (3,3,4)?
Da hast du welche vergessen.
Gesucht sind alle Tupel, bei denen in der Mitte eine 3 steht und die die Bedingung a1 ≤ a2 ≤ a3 erfüllt ist.
Das sind
(1,3,3)
(1,3,4)
(2,3,3)
(2,3,4)
(3,3,3)
(3,3,4)
Ja stimmt! Aber den Grundgedanken dahinter habe ich auf jeden Fall verstanden!:) Danke dir nochmals!! du warst mir wirklich eine sehr große Hilfe☺️ Der Prof hat Ä-klasse nur kurz in der Vorlesung erwähnt. Kein Beispiel. Keine Definition. Nichts. Ich war total überfordert als ich die Übungsaufgaben gesehen habe:D Aber dank dir bin ich mit dem Thema viel vertrauter geworden☺️
Also hier gilt ja dass zwei tupel in relation zueinander stehen, wenn beide tupel die selben Elemente haben, wobei die Reihenfolge anders sein darf.
Bei der a musst du alle Tuep finden, die in der selben Klasse sind, du musst also alle Permutationen von (2,5,3) finden.
Für die b musst du die Anzahl der Klassen bestimmen. Nach Definition der Äquivalenzrelation musst du bestimmen,wie viele Möglichkeiten es gibt, 3 von 5 Elemente auszuwählen, wobei die Reihenfolge egal ist. Genau das macht der Binomialkoeffzient "5 über 3"
Alles klar. Dankeschön!! Das hat mir sehr geholfen. Kann ich dir noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe stellen? Vielleicht sitzt es bei mir im Kopf dann besser.😅 Ich hab gegeben: Ω := Kom43(m.W.) = {(a1,a2,a3) ∈ {1,2,3,4}3 : a1 ≤ a2 ≤ a3} und die Äquivalenzrelation (a1,a2,a3) ∼ (b1,b2,b3) :⇐⇒ a2 = b2.
Aufgabe: Bestimmen Sie die Äquivalenzklasse K des Elements (1,4,4)∈Ω.
Es gibt auf jeden Fall 4 Äquivalenzklassen. Weil wenn ich n über k berechne (also 4 über 3) dann kommt genau 4 raus. Kann ich das dann als "Allgemeine Formel" nehmen, wenn nach der Anzahl der Äquivalenzklassen gefragt wird?
Nun muss ich die Äquivalenzklasse des Elements (1,4,4) bestimmen. Bei einer Kombination mit Wiederholung geht es darum, dass Objekte mehrmals ausgewählt werden dürfen. Relevant ist jetzt auf jeden Fall das zweite Element dieses Tupels also a2=4. Das bedeutet, a1 und a2 können beliebig die Werte 1-4 annehmen. Wäre das dann meine Äquivalenzklasse? also zB (1,4,1), (1,4,2), (1,4,3), (1,4,4), (2,4,1), (2,4,3).. etc ?