Wie kommt man empirisch auf die Formel 2pi*Wurzel aus (L/G) beim Fadenpendel?

3 Antworten

Überhaupt nicht. Empirisch kommt man auf eine Wertetabelle, sonst nichts. Eine Formel, auch eine sog. empirische Formel, ist bereits ein Modell, das durch spekulatives geistiges Arbeiten entsteht. Ob und wie gut das Modell auch noch stimmt, wenn Du mit den Versuchen in andere Wertebereiche vordringst, muß man sehen. Wenn Du meinst, auf das Modell vertrauen und die nächsten Messungen vorhersagen zu können, dann hast Du schon beschlossen, eine Theorie aufzustellen.

Daß Du das Symbol pi benutzt, anstatt 3 Komma soundsoviel zu sagen, ist schon von Anfang an ein Schritt über das Modell hinaus zu einer Theorie. Denn "pi" zu sagen ist eine sehr weitreichende Behauptung. Sie impliziert, daß Du die geometrischen Eigenschaften des Kreises und der Winkelfunktionen für das Verhalten des Pendels für verantwortlich erklärst.

Ja, dem möchte ich unbedingt zustimmen. Ich mache den Versuch sehr oft mit Schülern. Die Wurzel zu finden ist schon sehr anspruchsvoll. Aber auf Pi kommt tatsächlich niemand von alleine. Das ist schon starke Theorie-Bildung.

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Hey,

Wie man empirisch drauf kommt? Ausprobieren - wie denn sonst?

Mathematisch kommt man auf dieses Ergebnis, indem man halt die Differenzialgleichung aufstellt und auflöst. Da steht dann, dass omega^2(Kreisfrequenz^2)=L/G, Wurzel ziehen, dann steht das da. Die Periodendauer T ergibt sich dann trivialerweise daraus.

Die ganze Geschichte ist allerdings relativ komplex (im Abitur macht man es gar nicht erst, glaube ich, ich hatte es im ersten Semester gehabt). Es gibt eine ganz interessante Playlist über Schwingungen von Walter Lewin (auf Englisch) auf Youtube, wenn Du Dich damit mal auseinandersetzen möchtest. Ohne Mathematik geht es nicht wirklich, physics is applied maths.

Im Übrigen: das war die Formel für das >mathematische< Fadenpendel. ;)

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Wesentlich für das Auftreten der Wurzel ist, dass harmonische Schwingungen eine rücktreibende Kraft F prop. zur Auslenkung s haben, also auch die Beschleunigung a = s'' prop. zu (–s) ist.

Die Lösung ist etwa s(t) = sin wt mit der 2. Ableitung –w² sin wt . Kurz: a = –w² s. Demnach ist die Kreisfrequenz w prop. zur Wurzel aus F/m.

Die gesuchte Schwingungsdauer ist aber T = 2π/w .

Dass die Masse keine Rolle spielt, liegt an F/m prop. mg / m = g (wie bei reibungsfreien Bewegungen im Schwerefeld üblich).