Wie kommt man auf das Ergebnis(bitte mit Lösungsweg)?

Einer Patienten wird morgens um 10 Uhr 1800 mg eines Medikamentes verabreichert. Da der Pateint allergisch reagiert und Atemnot entwickelt, wird ihm ein Antidot (Gegengift) verabreichert, das 250 mg des Medikaments im Blut bindet und direkt eliminiert.

Wann wurde das Antidot verabreichert, wenn um 22 Uhr bei der Laborkontrolle nur mehr 130 mg des Medikaments vorhanden sind und die Halbwertszeit (Zeit, Menge des Stoffes halbiert sich) des Medikamentes vor und nach Gabe des Antidots 4 Stunden beträgt?

1) Antidot muss um 10Uhr verabreichert worden sein.

2) Antidot muss um 14Uhr verabreichert worden sein.

3) Antidot muss um 18Uhr verabreichert worden sein.

4) Antidot muss zwischen um 14Uhr und 18Uhr verabreichert worden sein.

Answer 1

[DODOsBACK]

Die Wirkstoffmenge halbiert sich alle 4 Stunden. Wird das Antidot verbreicht, geht sie einmalig um 250mg zurück, davor und danach halbiert sie sich aber weiter alle 4 Stunden.

Rechne damit alle Vorschläge durch:

Ohne Antidotgabe/ mit Gabe um 18 Uhr/ mit Gabe um 14 Uhr/ mit Gabe um 10 Uhr

Wert um 10Uhr: 1800/ 1800/ 1800 /1550

Wert um 14 Uhr: 900/ 900/ 650 /775

usw.

Wenn um 22 Uhr der gemessene Wert mit keiner Option genau erreicht wird, schau nach, zwischen welchen zwei Werten er liegt - die Gabe muss dann zwischen diesen Uhrzeiten erfolgt sein.

Answer 2

[SeifenkistenBOB]

Kenne mich zwar mit TMS-Test nicht aus, aber ich vermute mal, dass hier kein analytischer Lösungsweg gefragt ist. Eine Mischung aus analytisch und Trial&Error führt wahrscheinlich am schnellsten zum Ziel.

Das bedeutet, wir stellen als erstes eine Exponentialfunktion (in Abhängigkeit der Zeit t) auf, die unsere Startdosis D des Medikaments [mg], den Zeitpunkt zur Startdosis T (= Antidot-Zeitpunkt), und die Halbwertszeit H berücksichtigt. Das lässt sich dann so schreiben:

$f\left(t\right)=\left(D-250\right)\cdot2^{\left(-\frac{t-T}{H}\right)}$

Wichtig ist, dass die Startdosis selbst von der Halbwertszeit und vom Verabreichungszeitpunkt des Antidots abhängt, d.h. um 10 Uhr ist die Startdosis 1800, um 14 Uhr ist sie nur noch halb so groß (=900), um 18 Uhr wieder um die Hälfte verringert (=450).

Für den Einnahmezeitpunkt des Antidots um 14 Uhr sähe die Formel also so aus:

$f\left(t\right)=\left(900-250\right)\cdot2^{\left(-\frac{t-14}{4}\right)}$

Analytisch müsste man jetzt die Startdosis und die zugehörige Uhrzeit finden, so dass die Gleichung für t=22 Uhr die 130 mg ausgibt, also...

$f\left(22\right)=130$

Durch Einsetzen von t=22 und der anderen Werte aus den verschiedenen Antwortmöglichkeiten lässt sich dann die richtige Antwort abschätzen, indem man die Ergebnisse mit dem Zielwert von 130 mg vergleicht.

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Wenn man's ganz genau wissen will, dann muss man ein bisschen mehr Arbeit reinstecken:

Wir ersetzen das D durch eine Funktion D(a), die nur vom Antidot-Zeitpunkt a abhängig ist. Die Bedingung f(22) = 130 wird auch sofort eingesetzt. Wir erhalten die Funktionsgleichung

$130\ =\ g\left(a\right)\ =\ \left(D\left(a\right)-250\right)\cdot2^{-\left(\frac{22-a}{4}\right)}$ $130\ \ =\ \left(1800\cdot2^{-\left(\frac{22-a}{4}\right)}-250\right)\cdot2^{-\left(\frac{22-a}{4}\right)}$

Wir substituieren:

$y=2^{-\left(\frac{22-a}{4}\right)}$

Und erhalten damit eine quadratische Gleichung...

0 = 1800*y² - 250*y - 130

die sich mit bekannten Methoden lösen lässt.

y1 ≈ -0,0208125
y2 ≈ 0,3470138

Mit den Ergebnissen nehmen wir jetzt die Rücksubstitution vor. Da wir im Folgenden logarithmieren wollen, fällt die erste Lösung (negativ) schon mal raus. Die Rücksubstitution mit y2 liefert dann...

$0,3470138\ =\ 2^{-\left(\frac{22-a}{4}\right)}$ $a=4\cdot\frac{\ln\left(0,3470138\right)}{\ln\left(2\right)}+22$

a = 15,89

und das entspricht etwa 15:53 Uhr.