Wie kommt man auf A = Pi • r²?
Hallo,
Ich wollte Fragen, wie man auf A = Pi • r² kommt. Ich war letzte Stunde krank und das haben wir als Hausaufgabe aufbekommen, deshalb wollte ich Fragen warum das so ist.
Danke schonmal!!!!
4 Antworten
![](https://images.gutefrage.net/media/user/ranger1111/1664398651580_nmmslarge__0_0_300_300_9a4334409e63f908baa4b0bff88a688f.jpg?v=1664398652000)
Das nennt man die Quadratur des Kreises.
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Dann nenn es die Näherung der Quadratur des Kreises. Oder der Quadratur des Kreises mit irrationalen und transzendenten Maßstäben...
![](https://images.gutefrage.net/media/user/Willy1729/1444750712_nmmslarge.jpg?v=1444750712000)
Hallo,
der Flächeninhalt des Kreises wird durch n gleichschenklige Dreiecke mit Radius r und den jeweilige Kreissehnen als Grundseite angenähert. Geht n gegen unendlich, bleibt pi*r² als Grenzwert.
Jedes dieser Dreiecke hat den Radius als Schenkel und eine dazugehörige Kreissehne a als Grundseite. Der Winkel zwischen den beiden gleichen Schenkel ist
2pi/n. Für die Berechnung einer Dreiecksfläche ziehst Du noch eine Höhe h ein, die die Grundseite genau mittig teilt und gleichzeitig Winkelhalbierende des Zentriwinkels ist.
Der Sinus dieses halben Winkels pi/n ist dann (a/2)/r, der Kosinus ist h/r, so daß
a/2=r*sin (pi/n) und h=r*cos (pi/n).
Da A=(a/2)*h, ist A=r*r*sin (pi/n)*cos (pi/n). Nach einem der Additionstheoreme gilt
sin(x)*cos(x)=(1/2)sin (2x), so daß Du die Flächenformel eines der Dreiecke zu
r²*(1/2)sin (2pi/n) umwandeln kannst.
Da es n dieser Dreiecke gibt, kommst Du für die angenäherte Kreisfläche auf
n*(1/2)*sin (2pi/n).
Je größer n wird, desto kleiner wird das Argument des Sinus. Für sehr kleine x gilt aber: sin (x)=x, so daß Du die Formel zu (1/2)n*r²*2pi/n umschreiben kannst.
Da sich die 2 und n wegkürzen, bleibt pi*r² als Gesamtfläche unendlich vieler dieser Dreiecke und damit der Kreisfläche als renzwert für n gegen unendlich übrig.
Herzliche Grüße,
Willy
![](https://images.gutefrage.net/media/default/user/15_nmmslarge.png?v=1551279448000)
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Man kann mithilfe der Funktion √(r²-x²) einen Halbkreis mit Radius r um den Ursprung erhalten. Um nun die Fläche dieses Halbkreises zu erhalten, kann man ein Integral benutzen. Man will also folgendes Integral bestimmen:
int √(r²-x²) dx
Nun substituiert man x=r*sin(u), dann ergibt sich dx=r*cos(u) du:
=int √(r²-r²*sin(u)²)*r*cos(u) du
=r² * int √(1-sin(u)²)*cos(u) du
Und nach sin²+cos² = 1 erhält man:
=r² * int cos(u)² du
cos(u)² lässt sich umformen zu:
=r² * int (1/2*cos(2u)+1/2) du
Nun die Stammfunktion bestimmen:
=r² * (1/2*sin(2u)+1/2u)
Nun möchte man das Integral von x=-r bis x=r haben, daher muss man hier nun u=-π/2 bis u=π/2 nehmen. Setzt man die Grenzen ein, bekommt man den halben Flächeninhalt:
A/2 = [r² * (1/2*sin(2*π/2)+1/2*π/2)] - [r² * (1/2*sin(-2*π/2)-1/2*π/2)] = r² * π/2
Somit
A = π*r²
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Das ist einfach so. Der Flächeninhalt eines Kreises ist Pi * r². Meines Wissens muss man nicht wissen warum genau 3,1415926... usw.. * r²
wat ? Quadratur des Kreises ist etwas, was noch nie gefunzt hat.