Wie kann man das beweisen?
2 Antworten
Es seien aᵢ∈A, bᵢ∈B und cᵢ∈C. Aus der Bijektivität von f und g folgt
f(a₁) ≠ f(a₂) <=> a₁ ≠ a₂
g(b₁) ≠ g(b₂) <=> b₁ ≠ b₂
Setzen wir nun f(a₁) = b₁ und f(a₂) = b₂ und das wird immer möglich sein wegen der Bijektivität von f, so erhalten wir
g(f(a₁)) ≠ g(f(a₂)) <=> f(a₁) ≠ f(a₂)
und aus der ersten Äquivalenz oben folgt damit
g(f(a₁)) ≠ g(f(a₂)) <=> a₁ ≠ a₂
Wir haben die Injektivität von g○f gezeigt.
Aus der Bijektivität von f und g folgt f(A) = B und g(B) = C, also
C = g(B) = g(f(A)) = (g○f)(A)
C ist damit die Wertemenge von g○f und somit g○f surjektiv.
Insgesamt ist also g○f bijektiv.
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Hinweise:
- Eine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
- Zeige, dass die Verkettung zweier injektiver Abbildungen wieder injektiv ist.
- Zeige, dass die Verkettung zweier surjektiver Abbildungen wieder surjektiv ist.
Das könnte dann beispielsweise so aussehen...
Du hast oben einmal f(a)=c geschrieben, statt f(a)=b.
Ich verstehe nicht, wieso du auf
(g○f)(A) = A kommst.
Muss nicht (g○f)(A) = C rauskommen?
Und bei der Injektivität müssen doch Äquivalenzen und nicht Implikationen stehen.
Kannst du mir eben auf die Sprünge helfen?
Ja. das f(a) = c ist falsch. Das müsste f(a) = b sein.
Und... Uups. In der Mitte des Bildes befindet sich ein Teil, der da überhaupt nicht reingehört. Da hatte ich zunächst etwas drinstehen, was ich umschreiben wollte, aber zwischendurch dann einfach ganz rausnehmen wollte, da ich das dann doch anders aufgeschrieben habe. Keine Ahnung, warum ich übersehen habe, dass das da noch drinsteht. Ich bessere das Bild gleich nochmal aus.
Zwar sind das tatsächlich auch Äquivalenzen bei der Injektivität. Das ändert aber nichts daran, dass die Implikationen richtig sind.
Und bei der Injektivität braucht man eigentlich auch nur Implikationen. [Die andere Richtung ergibt sich immer aus der Rechtseindeutigkeit der Abbildungen, sodass man bei Abbildungen da immer auch eine Äquivalenz statt einer Implikation schreiben könnte.]
Wenn du beispielsweise mal bei der Definition in Wikipedia (oder auch sonst irgendwo) schaust, wirst du in der Definition meist nur eine Implikation sehen.
Du hast im Grunde nicht die Bijektivität gezeigt, sondern nur die Injektivität. Insofern ist der Beweis unvollständig.
Es geht aus dem Beweis nicht hervor, dass es zu jedem c ∈ C ein a ∈ A mit (g ∘ f)(a) = c geben muss (--> Surjektivität), sondern nur, dass solch ein a ∈ A dann eindeutig ist (--> Injektivität).