Wie kann ich mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren das Seitenverhältnis b/a bestimmen?
- Ein Fünfeck bestehe aus einem gleichseitigen Dreieck, das auf einem Rechteck sitzt. Die Fläche des Fünfecks beträge 10. Bestimmen Sie mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren das Seitenverhältnis b/a , bei dem das Fünfeck minimalen Umfang besitzt.
3 Antworten
Also das Problem lautet ja:
Minimiere 3a + 2b (ich sage Mal, dass das Dreieck an der Seite mit Länge a liegt)
Wobei
a*b+sqrt(3)/4*a^2=10
a>0
und
b > 0 (also ich vermute Mal, dass das Rechteck nicht entartet sein darf)
gelten soll.
Die Lagrange Funktion L mit Multiplikator k ist dann:
L(a,b,k)= 3a+2b - k*a*b - k*a^2*sqrt(3)/4 + k * 10
Bestimme nun den Gradienten von L und setzte den gleich 0.
Dann bekommst du das gleichungssystem:
3-k*b-a*k*sqrt(3)/2 = 0
2-k*b = 0
-a*b-k*a^2*sqrt(3)/4+10=0
Bestimme dann dessen Lösungen (vermutlich kannst du auch durch umformungen eine Aussage für a/b) bekommen, du müsstest dann noch Begründen, weswegen du da ein Minimum hast
Mit den Vorarbeiten von Halbrecht:
U=3a+2b (a = Dreiecksseite, b= Rechtecksseite „senkrecht“ zum Dreieck)
Nebenbedingung a*b + a*w(0.75)*a / 2 = 10
Lagrangefunktion
L = 3a+2b - lambda ( a*b + a*w(0.75)*a / 2 - 10 )
0 = dL/da = 3 - lambda ( b + a*w(0.75) )
0 = dL/db = 2 - lambda ( a )
0 = dL/dlambda = a*b + a*w(0.75)*a / 2 - 10
—> lambda = 2/a
—> 0 = 3a -2( b+a*w(0.75) ) —> b = a (3-2w(0.75))/2
–> 0 = a^2 (3-2w(0.75))/2 + a^2*w(0.75)/ 2 - 10 = a^2 (3-w(0.75))/2 - 10
–> a = 20/(3-w(0.75))
ich schreibe es mal klassisch hin :
Nebenbedingung :
A = 10 =
a*b + a*w(0.75)*a / 2 =
.
b = 10/a - a*w(0.75)/2
.
Zielfkt :
U = 3a + 2b
.
U(a) = 3a + 20/a - a*w(0.75)
U'(a) = 3 - 10/a² + w(0.75)
.
Wegen eines Fehlers von mir , schien es erst nicht zu gehen , aber jetzt doch .
so korrigiert :)) ..............wegen Lag - M . GENAU deswegen habe ich ja den Eingangssatz geschrieben , in der Hoffnung darauf , dass der Leser das versteht.
b=10/a - ....
U(a) = 3a + 20/a - a*w(0.75)
U`(a) = 3 - 20/a^2 - w(0.75)
Ist allerdings nicht die verlangte Lagrange Methode ....