Wie kann ich mir eine komplexe Nullstelle graphisch vorstellen bzw. hat das was mit Vektoren im Einheitskreis zutun?
2 Antworten
Eine Komplexe Nullstelle kannst du in einem normalen Graphen nicht sehen.
Du brauchst dazu einen 3 Dimensionalen Plot deiner Funktion. Dann wäre die Komplexe Nullstelle der Schnittpunkt deiner Funktion mit der komplexen Ebene.
Aber du kannst dir den Punkt einfach nur in der Komplexen Ebene darstellen (ist hald eben nur ein Punkt) und wenn du den Punkt in der komplexen Ebene durch Polarkoordinaten darstellst hast du deine Verbindung zum Einheitskreis.
Nein es die liegen nicht genau am Einheitskreis.
Grundsätzlich geht es hier nur um den Zusammenhang Kreis zu Komplexer Nullstelle, der Einheitskreis wird nur gewählt weil man damit leichter was definieren kann als mit einem Kreis unbekannten Radius.
Zudem hängt der Einheitskreis auch mit der Komplexen e Funktion zusammen.
Eine komplexe Zahl kann nämlich dargestellt werden als Betrag*e^(j*phi), wenn der Betrag jetzt zu 1 wird liegen alle Werte am Einheitskreis weil phi ja nur einen Winkel angibt.
Die Nullstellen müssen im Allgemeinen nicht gleichverteilt auf einem Kreis liegen, es müssen auch nicht zwingend alle Nullstellen auf einem Kreis liegen sondern die können auch irgendwie liegen.
Hier gibt es aber einen Zusammenhang mit der komplexen Wurzelfunktion und zwar hat die 4te Wurzel von x. 4 Lösungen welche alle auf einem Kreis liegen (indem Fall auch der Einheitskreis) und die sind gleichverteilt über den Kreis.
Wenn das Bild komplex ist, dann sind bei Nullstellen Real- UND Imaginärteil gleich null.
Wenn du auch einen Komplexen Input hast ist dein Graph ja 4-Dimensional, das kannst du aber beheben, wenn du Real- und Imaginärteil als seperate 3-Dimensionale Graphen darstellst. Dann kannst du dir anschauen, für welche komplexen Argumente beide Ebenen (gleichzeitig) einen Nullpunkt haben
Ja ich glaub deine Antwort ist das was ich suche. Kannst du den Zusammenhang mit dem Einheitskreis bitte noch etwas genauer erläutern. Liegen die Nullstellen genau am Rand des Kreises und wenn ja sind z.b. 4 Nullstellen vom Winkel gleich verteilt? Warum Einheitskreis und nicht z.B. Radius 2 ?