Was sind die Nullstellen von -x^3 + 1, wenn man komplexe Nullstellen mit berücksichtigen soll, reicht 1 nicht?



Soweit kommt man durch Polynomdivision [nachdem man x = 1 als Nullstelle erkannt hat und dementsprechend eine Polynomdivision durch den Linearfaktor x - 1 durchgeführt hat] oder indem man sich mit Kreisteilungspolynomen auskennt.

Nun hat x² + x + 1 keine reelle Nullstelle. In den komplexen Zahlen kann dieser Term jedoch 0 werden. Um die Nullstellen herauszufinden kann man einfach eine quadratische Lösungsformel (Mitternachtsformel oder p-q-Formel) verwenden.



Dies führt dementsprechend zu folgendem Ergebnis: -x³ + 1 hat neben der reellen Nullstelle bei x = 1 auch noch die beiden Nullstellen x = (-1 + i √(3))/2 und x = (-1 - i √(3))/2.

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Alternativ kann man die Gleichung -x³ + 1 = 0 zu x³ = 1 umformen. Dementsprechend sind also die 3-ten Wurzeln von 1 in den komplexen Zahlen gesucht. Es sind also die 3-ten Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen gesucht.

Für jede natürliche Zahl n gibt es n n-te Einheitswurzeln in den komplexen Zahlen, nämlich...



Im konkreten Fall erhält man für die 3-ten Einheitswurzeln...







So kommt man also auch auf die Nullstellen von -x³ + 1 in den komplexen Zahlen.

Im komplexen hat eine Polynom immer genau so viele Nullstellen, wie der Grad des Polynoms ist. (Nullstellen können dabei aber aufeinander liegen, es müssen keine unterschiedlichen Nullstellen sein). Bei einem Polynom vom Grad 3 hast du also 3 Nullstellen. Wenn du die 1 als Lösung gefunden hast, kannst du ja Polynomdivision machen und die anderen beiden Lösungen über die Lösung der quadratischen Gleichung herausfinden.

Bei Potenzen vom Grad n gibt es für x^n=z genau n verschiedene Lösungen, wenn z ungleich 0 ist. In der Gaußschen Zahlenebene bilden die n-Lösungen ein regelmäßiges n-Eck um den Ursprung.