Stabiles Gleichgewicht (Relationen herleiten)?

Hallo,

weiß jemand, wie ich diese Frage lösen kann?

Eine Lösung für ein Massesystem aus zwei Punkten ist hier:

Mir stellen sich hier im "asymmetrischen" Fall mit 3 Punktmassen die Fragen, ob die Kräfte immer noch symmetrisch sind (oder ob die Pfeile ungleich lang sind). Mir ist in der obigen Aufgabe auch nicht 100%ig klar, wofür das "m" steht - das sollen ja keine Einheiten sein? Ist m2=m?

Kann mir jemand helfen? Danke!

Answer 1

[Clemens1973]

Die Lösung der 2. Aufgabe hilft hier nicht gross weiter. Zu m: Dies steht für eine beliebige Masse - entscheidend sind ja nur die Massenverhältnisse. Mit m1=5*m, m3=12*m gilt m1/m3=5/12.

Seien im folgenden alpha der Winkel zwischen linkem Seil und der Vertikalen und beta der Winkel zwischen rechtem Seil und der Vertikalen. Für die Kräfte in horizontaler/vertikaler Richtung muss im Gleichgewicht gelten

$-m_1\sin\alpha+m_3\sin\beta=0 \quad (1)\\ m_1\cos\alpha+m_3\cos\beta-m_2=0\quad (2)$

Aus Gleichung (1) folgt

$\frac{m_3}{m_1}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\tan\alpha$

Diese Gleichung folgt auch anschaulich, wenn man ein Kräftedreick zeichnet.

Aus Gleichung (2) und der Beziehung

$\cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

folgt nun eine Beziehung zwischen den Massen m1, m2 und m3. Damit lässt sich auch die Masse 2 für die gegebenen Massen m1, m3 berechnen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung