Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit n Würfeln eine höhere Augenzahl zu werfen als mit n+1 Würfeln?

 - (Mathematik, Würfel, Kombinatorik)

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Scheint mir ein eher komplexes Problem zu sein.

Xn sei die Augensumme aus n unabhängigen Würfen

Xn+1 sei die Augensumme aus n+1 unabhängigen Würfen, die auch von den ersten n Würfen für Xn unabhängig sein sollen

Wir suchen P( Xn+1 < Xn )

Das kann man schreiben als

Summe( k= n+1 bis 6(n+1) ) P( Xn+1= k ) P( k < Xn )

Auf mathworld ĥast du die Formel für P( Xn+1= k ) gesehen, auch P( k < Xn ) kann man damit berechnen. Aber schön ist das nicht.

Wie wär's mit einer Monte Carlo Simulation? Geht sogar in Excel, zwei Spalten abfüllen, die erste mit der Summe aus n+1 Würfen, die zweite mit der Summe aus n Würfen, vergleichen, 10'000 Zeilen, vielleicht auch mehr, "Treffer" zählen.

Was mir noch einfällt, man kann auch eine Normalapproximation machen wie in mathworld angedeutet.

Y = Xn+1 - Xn hat den Erwartungswert 3.5 und die Varianz ( 2n+1 ) * 3.5

Wir suchen dann Phi( 0, mu= 3.5, sigma= Wurzel( ( 2n+1 ) * 3.5 ), kumuliert ) oder auf die Standardnormalverteilung skaliert

Phi( -3.5 / Wurzel( ( 2n+1 ) * 3.5 ) )

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Danke für deine Antwort. Ich denke die Definition von P( Xn+1 < Xn ) ist schon mal hilfreich :)
Die Idee mit der Normalverteilung ist auch gut. Wenn ich deinen Kommentar richtig verstehe, suchen wir schließlich P(Y)? Ist das gleichbedeutend wie P( Xn+1 < Xn ) von oben? Das wäre dann ja ein schöner Ansatz.
Den E{Y}=3.5 kann ich noch nachvollziehen, die Varianz dann leider nicht mehr. Und beim Phi, was meinst du genau damit?

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@HansSalbei94

Die Varianz bei einem Wurf ist 3.5, und addiert sich bei unabhängigen Würfen. Und man würfelt ja n+1 + n mal, um Y = Xn+1 -Xn zu ermitteln.

Phi ist die Normalverteilung, in Excel wäre das NORMVERT.

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Also deine Frage kann ich nicht beantworten, aber ich wollte dich darauf hinweisen, dass dein Graph falsch ist und wie du vielleicht auf die Antwort kommst:

Zum Graph: Die Wahrscheinlichkeit mit 6 Würfeln eine 1, 2, 3, 4 oder 5 zu würfeln liegt bei 0%

Genauso wie eine 1, 2, 3 oder 4 mit 5 Würfeln, usw.

Außerdem nimmt die Wahrscheinlichkeit mit der Augenzahl doch gar nicht ab...

Es ist stets die Selbe:

  • Bei 1 Würfel 16,67% für 1 bis 6
  • Bei 2 Würfeln 9,09% für 2 bis 12
  • Bei 3 Würfeln 6,25% für 3 bis 18
  • etc.

Somit müsste man nun die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle Zahlen nehmen

  • 2 Würfel für 2 = 9,09% / 1 Würfel für 3-6 = 66,67%
  • 2 Würfel für 3 = 9,09% / 1 Würfel für 4-6 = 50,00%
  • etc.
  • 3 Würfel für 3 = 6,25% / 2 Würfel für 4-12 = 81,82% / 1 Würfel für 4-6 = 50%
  • usw.

Irgendwann kann man bestimmt eine Formel ableiten...

Danke für die Antwort, aber meiner Meinung nach müsste mein Graph schon stimmen. Es ist ja die Wahrscheinlichkeit dargestellt, z.B. mit 6 Würfeln mindestens eine 1,2,3,4,5 zu werfen. Und da mit jedem Werfen ja mindestens ne 1 geworfen wird, erreiche ich zu 100% die Zahlen 1 bis 5 :)

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Ich habe das Problem jetzt mal simuliert, wie eterneladam vorgeschlagen hat. Ist natürlich keine analytische Lösung, aber zumindest ein Anhaltspunkt.. (gemittelt wurde über 20000 Runden)

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Schön, gerne auch noch für grössere Anzahl Würfel :-)

Für die Anzahl gegen unendlich würde ich einen Grenzwert von 0.5 vermuten, weil der eine Würfel mehr dann keinen Unterschied mehr machen sollte.

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