Wie groß ist das Volumen eines Würfels , dessen Raumdiagonale 4 cm lang ist?
2 Antworten
Das Volumen des Würfels beträgt 64/9 ⋅ √(3) cm³, was etwa 12,32 cm³ ist.
======Hinweise zu einem möglichen Rechenweg======
Bezeichne die Kantenlänge des Würfels mit a.
Wie groß ist die Länge der Raumdiagonale ausgedrückt mit Hilfe von a? [Hinweis: Betrachte zunächst eine Flächendiagonale entlang einer Seitenfläche als Hilfsgröße. Nutze den Satz des Pythagoras.] Diese soll nun 4 cm lang sein, was eine Gleichung liefert, mit der man a berechnen kann.
Mit Hilfe der Kantenlänge a kannst du dann das Volumen berechnen.
======Möglicher Rechenweg======
Das Dreieck PQR ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei Q. Nach Satz des Pythagoras gilt:
Das Dreieck PRS ist rechtwinklig mit rechtem Winkel bei R. Nach Satz des Pythagoras gilt:
Setzt man da nun, wie zuvor erhalten, d² = a² + a² ein, erhält man:
Aufgelöst nach a erhält man dann:
Für das Volumen des Würfels erhält man dann:
Im konkreten Fall mit e = 4 cm erhält man:
Zuerst die Kantenlänge berechnen (Pythagoras)
Dann das Volumen berechnen (Altbekannte Formel)
An welcher Stelle kommst Du nicht weiter?
Du brauchst erst mal die Diagonale (ich nenne sie mal s) einer Seite.
a²+a²=s² also --> Wurzel aus 2a²
Jetzt kannst du darüber die Diagonale d im Raum berechnen, die ja 4 ist.
a²+ (Wurzel(2a²))² = 4²
a²+2a² = 3a² = 16
a= 2,31
Also du meinst a^2+a^2=d^2