Wie erhält man die momentane Änderungsrate?
Wie man die mittlere Änderungsrate erhält weiß ich,aber wie erhält man denn die momentane Änderungsrate?Ich habe hier die Funktion f(x) = x² und muss mich dem Wert 4 nähern..Nun man kann das am Graphen halt ein bisschen ablesen aber irgendwann wird es halt ungenau..bei h=0,01 wäre es ja unmöglich den Wert 3,98604 zu ermitteln, dass haben wir irgendwie im Unterricht ermittelt, aber ich weiß nicht wie.. Ich hoffe ihr versteht worauf ich hinaus will und ich würde mich unheimlich über Hilfe freuen!! Danke im voraus
3 Antworten
Die momentane Änderungsrate, auch Differenzialquotient, ist das selbe wie die Tangentensteigung in einem Punkt und somit einfach die Ableitung.
Dementsprechend kannst du die Funktion ableiten und anschließend die Stelle x=4 einfach in die Ableitungsfunktion einsetzten. Das Ergebnis ist dann die Steigung an der Stelle x=4.
f(x) = x²
f'(x) = 2x
f'(4) = 2*4
f'(4) = 8
Das heißt, die (Tangenten-) Steigung im Punkt P(4|16) beträgt m=8!
Im Bild kannst du das nocheinmal prüfen.
Der blaue Graph ist der Graph der Ausgangsfunktion f.
Der rote Graph ist der Graph der Ableitungsfunktion f'.
Da der Ableitungsgraph nun die Steigung angibt, siehst du auch, dass der Funktionswert (y-Koordinate) an der Stelle x=4 den Funktionswert y=8 hat.
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Liebe Grüße
TechnikSpezi
Wenn du aber nicht versuchst den Grenzwert (Limes) zu berechnen, was machst du dann? Was meinst du immer mit h=0,01?
Berechnest du das ganze gerade mit 2 Punkten die sehr nah aneinander dran liegen und somit 2 x-Koordinaten und 2 y-Koordinaten? Oder wie kommst du da jetzt drauf?
Du musst wie gesagt die Funktion f ableiten.
Dazu musst du die Zahl im Exponenten mit der Basis multiplizieren. Gleichzeitig erniedrigst du den Expnenten um 1.
Wenn du eine Funktion f ableitest, dann musst du zuerst einmal immer auf die Exponenten schauen.
Der Exponent wird vor die Zahl (den Faktor) geschoben und anschließend um 1 erniedrigt.
Das ganze würde man mathematisch so aufschreiben:
f(x) = xⁿ
f'(x) = n * xⁿ⁻¹
In deiner Aufgabe also so:
f(x) = x²
Nun leiten wir Schritt für Schritt ab:
f'(x) = 2*x²⁻¹
f'(x) = 2*x¹
f'(x) = 2x
Wichtig ist dass du weißt, dass Zahlen mit einem x immer eine 1 im Exponenten haben.
15x ist also das selbe wie 15x¹.
Genauso wie 1x das selbe wie x ist - man lässt die 1 halt im Normalfall einfach weg.
Wenn du jetzt eine Zahl mit x ableitest, dann setzt du quasi eine 1
vor den Faktor und erniedrigst den Exponenten dann auf 0.
Dementsprechend fällt das x dann einfach weg und die Zahl bleibt immer gleich, da 1 * etwas immer noch das selbe etwas ist! ;)
Zahlen bzw. Teile ohne eine Variable wie z.B. einfach 15 heißen in der Mathematik Konstanten und werden gar nicht mit abgeleitet.
Diese Teile fallen also einfach weg.
Beispiel für die beiden neuen genannten Punkte:
f(x) = 2x-15
f'(x) = 2
In allem was ich gerade erklärt habe steckten die bereits genannten Regeln drin.
Ebenso musst du auspassen, was genau abgeleitet wird. Es ist für die Ableitung und die Funktion generell nämlich sehr wichtig, ob dort z.B. f(x) oder f(t) steht. Das, was in der Klammer steht, wird logischerweise auch abgeleitet.
Beispiel:
f(x) = x - t
f'(x) = 1
________
f(t) = x - t
f'(t) = -1
Das t (bzw. x beim 2.) fällt weg, weil es die Variable aus der Klammer nicht besitzt und es somit ebenso eine Konstante ist. Und wie wir wissen fallen Konstanten beim ableiten komplett weg.
Warum wird das 1 (bzw. -1)?
Beim x steht wie besprochen schon theoretisch x¹. Beim ableiten rechnest du also 1*x¹⁻¹. Der Exponent wird also 0. Wie du vielleicht schon einmal gehört hast, gilt in der Mathematik folgendes:
Alles hoch 0 ergibt immer 1.
Eine Ausnahme gibt es: 0 hoch 0, da ist man sich bis heute nicht einig. Generell ist 0 hoch 0 allerdings nicht definierbar!
Das solltest du dir ebenso merken!
Hier mal paar Beispiele:
f(x) = x³
f'(x) = 3*x²
f'(x) = 3x²
_____________
g(x) = 5x²
g'(x) = 2*5x
g'(x) = 10x
Hallo,
die momentane Änderungsrate bei x=4 ist die Ableitung f'(4).
Da die Ableitung von f(x)=x² f'(x)=2x ist, ist f'(4)=2*4=8.
Herzliche Grüße,
Willy
f' bilden. f'(x)=2x. wenn 4=2x gelten soll dann ist x=2
Wieso leitest du die Funktion nicht einfach ab?
Du rechnest scheinbar mit dem Limes (Grenzwert), oder? Wieso?
nein tue ich eigentlich nicht..ich verstehe nicht wie ich es ableiten soll
nimm die zahl im exponenten, also die zahl da oben und setzt die einfach davor. also wird aus x^2 -> 2x^2. jetzt noch die zahl oben um eins vermindern. also 2x^1=2x
ich danke dir dafür dass du dir die mühe gemacht hast!!!aber ich verstehe es irgendwie immer noch nicht so richtig...wir sind bei h=0,01 auf 3,98604 gekommen..ich müsste dann doch wie du oben beschrieben hast 1,99*4 rechnen und da kommt 7,96 raus das ist ja irgendwie falsch