Wie berechnet man die Summe eine Reihe bei einem Bruch?
Hi,
ich habe hier eine Summe mit einem Bruch und würde gerne wissen, wie ich hier vorgehen soll.
Man müsste den Bruch irgendwie zerlegen und dann umstellen, aber bin mir nicht sicher wie ich das machen soll. Hat jemand eine Idee?
2 Antworten
Hallo,
bilde mal die ersten fünf Glieder der Reihe:
1/3+1/15+1/35+1/63+1/99
Die Summen von k=1 bis n ergeben, wenn Du k bis 2, 3, 4 und 5 laufen läßt, der Reihe nach 1/3, 2/5, 3/7, 4/9, 5/11.
Die Summe für k=1 bis n lautet also offensichtlich n/(2n+1)
Erweitern mit 1/n ergibt 1/(2+1/n).
Läuft n gegen unendlich, geht 1/n gegen 0 und der Bruch gegen 1/2.
Das ist der Grenzwert der Reihe.
Herzliche Grüße,
Willy
Du kannst den Bruch auch zu 1/[(2k+1)*(2k-1)] nach der 3. binomischen Formel umformen und dann per Partialbruchzerlegung zu 1/(4k-2)-1/(4k+2) umformen und in zwei Summen aufteilen.
Das ergibt ab k=1 1/2-1/6+1/6-1/10+1/10-....-1/(4k+2).
Bis auf das erste und das letzte Glied heben sich alle Glieder dazwischen auf.
Das letzte geht gegen 0 bei k gegen unendlich, während das erste, nämlich 1/2 als Grenzwert bleibt.
Super, danke. Jetzt hab ich das Prinzip verstanden.
Ich habe noch eine kleine Frage. Wenn ich das mit der Partialbruchzerlegung mache, dann komme ich auf 1/2 sum (-1/2k+1 + 1/2k-1). Ich habe die 1/2 vor das Summenzeichen geschoben. Ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich auf die 1/2 komme.
A/(2k+1)+B(2k-1)=1/[(2k+1)*(2k-1)]
Bring alles auf einen Nenner, klammere k aus und beachte, daß alles mit k=0 sein muß und alles ohne k=1, dann kommst Du auf A=-1/2 und B=1/2.
Ich habe bei der Partialbruchzerlegung für A=-1/2 und B=1/2 bekommen. Danach habe ich das dann in A/2k+1 + B/2k-1 gesetzt. Dann komme ich auf
sum_k=1, ∞ (-1/2(2k+1) + 1/2(2k-1) ) danch habe ich die 1/2 ausgeklammer und vor das Summenzeichen.
1/2 sum_k=1, ∞ (-1/2k+1 + 1/2k-1) Meine Überlegung ist, wenn alles in der Klammer Null wird, dann 1/2 sum_k=1, ∞ 0
wenn ich wieder die 1/2 nach vorne schiebe, dann steht ja 1/2 *0 und das wäre ja dann 0?
Nein. Du bekommst dann (1/2)*(1/(2k-1)-1/(2k+1))=
(1/2)*(1-1/3+1/3-1/5+1/5-...-1/(2k+1))
Da sich alle Glieder bis auf das erste und das letzte aufheben und das letzte für k gegen unendlich gegen Null geht, bleibt (1/2)*1=1/2 als Grenzwert übrig.
1/(4k²-1) = 1 / (2k-1) * 1 / (2k+1) = { 1 / (2k-1) - 1 / (2k+1) } / 2
Das gibt eine Teleskopsumme und es bleibt nur (für k=1) der Term 1/2.
Die Summenformel stimmt; habe sie gerade über die vollständige Induktion bewiesen.