wie berechnet man die Brenntemperatur einer Lupe?
Vor einiger Zeit habe ich ein Video gesehen wo man meinte, dass die alten Ägypter mit Hilfe einer Lupe mit einem Durchmesser von 5m dazu in der Lage gewesen sein sollen, Granit zu schmelzen und in Formen zu gießen. Das sei dahin gestellt. Mich interessiert, ob jemand berechnen kann wie heiß es am Brennpunkt von einer Lupe mit 5m Durchmesser theoretisch werden kann. Vielen Dank.
1 Antwort
Die Sonne strahlt ungefähr 1 kW/m² auf die Erdoberfläche, also liefert Deine Lupe mit einer Querschnittsfläche von knapp 20 m² im besten Fall knapp 20 kW — das entspricht grob zehn größeren Tauchsiedern. Das ist jetzt keine vernachlässigbare Energie, aber auch keine weltbewegende Menge. Eine ähnliche Leistung kriegst Du, wenn Du 1.5 g Holzkohle pro Sekunde verbrennst (oder 5 kg in der Stunde).
Eine Leistung kann man nicht leicht in eine Temperatur umrechnen, weil das stark von Materialkonstanten und dem Aufbau abhängt.
Um zu berechnen, wieviel Granit man pro Zeit damit schmelzen kann, müßte man die Wärmekapazität, Schmelztemperatur und die Schmelzwärme von Granit kennen, und natürlich Verluste wegen der Bauart berücksichtigen (trübes Glas, Wärmefluß an die Behälter, unvollständige Absorption des Lichts).
Deshalb habe ich das lieber als Holzkohleäquivalent angegeben — mit 5 kg Holzkohle pro Stunde ist Gesteinschmelzen schon eine mühsame Tätigkeit.
Aber eine sehr grobe Rechnung können wir schon machen, nach dem Motto „Kühe sind sphärisch mit homogener Milchverteilung“.
Mit ein bißchen Googeln finde ich Schätzwert für die Wärmekapazität (790 J/kg K) und den Schmelzpunkt (1250 °C), aber die Schmelzwärme finde ich nicht. Immerhin habe ich irgendeine Zahl für Magma gefunden (550 kJ/kg), vielleicht ist das ja für verschiedene Gesteine ähnlich.
Um 1 kg Granit auf die Schmelztemperatur zu erwärmen, muß es ungefähr 950 K erwärmt werden, das kostet 750 kJ, dazu kommt dann noch die Schmelzwärme für den Phasenübergang fest→flüssig, insgesamt 1300 kJ. Die Apparatur liefert 20 kW, also müßte man sie nur eine gute Minute laufen lassen, bis sie genug Energie zum Schmelzen geliefert hat.
Das läßt aber die Wärmeverluste völlig unberücksichtigt. Davon gibt es einen Haufen, wirklich berechnen kann man nur die Strahlungsverluste durch Schwarzkörperstrahlung. So ein Granitblock mit 1 kg Masse hätte eine Oberfläche von ungefähr 0.03 m² und daher eine Strahlungsleistung P=σAT⁴≈10 kW bei 1250 °C. Das ist die Hälfte der Energie, die wir mit der Linse zuführen können.
Und dabei habe ich noch nicht von den anderen Wärmeverlusten geredet. Ich halte das für ziemlich aussichtslos. Wenn nicht wenigstens 50% der Energie, die auf die Linse einstrahlt, auch im Granit landet, erreichen wir die Schmelztemperatur gar nicht.
Woraus sollen diese Linsen übrigens bestehen? Hatten die Ägypter hinreichend klares Glas? Und fünf Meter Durchmesser kommt mir auch ziemlich abartig vor, die größte astronomische Linse, die je gebaut wurde, war nur knapp 2 m groß.
Rechenfehler sind leicht möglich, ich habe so etwas noch nie ausgerechnet.
Dankeschön. Aber gibt es keine Möglichkeit, die Temperatur am Brennpunkt zu berechnen? Wäre es möglich gewesen damit Granit zu schmelzen, dessen Schmelztemeratur 900°C beträgt!