Wie berechnet man den Schnittpunkt von zwei Geraden?
Durch die Punkte A(2/1) und B(4/2) ist die Gerade g festgelegt und durch die Punkte C(-1/4) und D(3/-1) die Gerade h. Wie berechnet man den Schnittpunkt der beiden Geraden?
10 Antworten
Zur Aufstellung der Geradengleichungen kannst du auch die sogenannte Punkt-Steigungsform verwenden, mit der du aus zwei gegebenen Punkten die Steigung m der dadurch gegebenen Geraden berechnen kannst.
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Die Punkt-Steigungsform lautet:
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m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
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bzw., wenn du deine Punkte mit A, B, ... bezeichnest:
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m = (yB - yA) / (xB - xA)
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Deine Gerade g, die durch die Punkte A und B gegeben ist, hat somit die Steigung:
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m = ( 2 - 1 ) / ( 4 - 2 ) = 1 / 2
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Setzt du nun die Koordinaten eines deiner Punkte A oder B sowie die soeben berechnete Steigung m in die allgemeine Geradengleichung
y = m * x + b
ein, dann erhältst du mit dem Punkt A:
1 = ( 1 / 2 ) * 2 + b
bzw. mit dem Punkt B:
2 = ( 1 / 2 ) * 4 + b
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Nach b aufgelöst ergibt sich:
b = 1 - ( 1 / 2 ) * 2 = 0
bzw.
b = 2 - ( 1 / 2 ) * 4 = 0
also für beide Punkte (erwartungsgemäß) derselbe Wert für b.
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Nun kennst du die Parameter m und b, die du in die allgemeine Geradengleichung einsetzen musst, damit die dadurch spezifizierte Gerade durch beide gegebenen Punkte verläuft.
Du erhältst:
y = ( 1 / 2 ) * x + 0
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Den Term "+ 0" kann man auch weglassen, sodass sich
ergibt.
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Mit den beiden anderen Punkten machst du es analog und erhältst als Geradengleichung schließlich:
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Der Schnittpunkt dieser beiden Geraden muss mit seinen Koordinaten beide Geradengleichungen erfüllen, da er ja auf beiden Geraden liegt.
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Es muss daher ein x geben, sodass gilt:
( 1 / 2 ) * x = - ( 5 / 4 ) * x + 11 / 4
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Dieses x kann durch Umformung der Gleichung bestimmt werden:
( 1 / 2 ) * x = - ( 5 / 4 ) * x + 11 / 4
<=> ( 2 / 4 ) * x + ( 5 / 4 ) * x = 11 / 4
<=> ( 7 / 4 ) * x = 11 / 4
<=> x = ( 11 / 4 ) / ( 7 / 4 )
<=> x = ( 11 / 4 ) * ( 4 / 7 ) = 11 / 7
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Das ist die x-Koordinate des Schnittpunktes der beiden Geraden.
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Wegen
y = ( 1 / 2 ) * x
ergibt sich daraus die y-Koordinate des Schnittpunktes zu:
y = ( 1 / 2 ) * ( 11 / 7 ) = 11 / 14
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Der gleiche Wert ergibt sich auch, wenn man die Gleichung der anderen Geraden verwendet:
y = - ( 5 / 4 ) * ( 11 / 7 ) + ( 11 / 4 )
= - ( 55 / 28 ) + ( 77 / 28 )
= 22 / 28
= 11 / 14
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Der Schnittpunkt S ist daher der Punkt
S ( 11 / 7 | 11 / 14 )
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Danke für den Stern.
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Beim Nachlesen musste ich leider feststellen, dass ein paar Teile meiner Antwort vom System "verschluckt" worden sind.
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Hier nochmals die entsprechende Passage:
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Den Term "+ 0" kann man auch weglassen, sodass sich
y = ( 1 / 2 ) * x
ergibt.
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Mit den beiden anderen Punkten machst du es analog und erhältst als Geradengleichung schließlich:
y = - ( 5 / 4 ) * x + 11 / 4
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die geradengleichung für beide bei geraden aufstellen. anschließend beide geraden gleichsetzen und nach x auflösen. somit haste die x-koordinate. dann x in einer der ursprungs-geradengleichung einsetzen, ausrechnen und dann hast die y-koordinate. somit haste den schnittpunkt.
guck mal auf der seite oberprima.com. dort wird das sehr gut erklärt!
Grundform einer Geraden ist y=mx+b. Da musst du die Punkte einsetzen und dadurch dann m und b ermitteln
Punkt A: 1=2m+b => b=1-m*2
Punkt B: 2=4m+b=4m+1-2m => 1=2m => m=1/2
b=1-1/2*2=1-1=0
y=1/2 x Das wäre jetzt Gerade g.
Für h das gleiche machen, dann beide Geraden gleichsetzen und du bekommst den Schnittpunkt.
Für die beiden Geraden die Gegeradengleichung aufstellen (in der Art: soundsoviel mal x1 plus soundsoviel ist y1)Dann beide Geradengleichungen gleichsetzen, dadurch entfällt y und Du erhältst einen wert für X. Den in eine der beiden Gleichungen einsetzen, und Du bekomst Y. rechnen sollst Du aber selber
Die Geradengleichungen aufstellen und die Terme gleichsetzen ergibt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten.
Die müssen aufgelöst werden. Es gibt da verschiedene Verfahren.
Ich weiß aber nicht wie man die Geradengleichung macht, dass man gleichsetzen muss is mir klar!