Wie berechne ich, ob ein Funktionswert (quadratische Funktion) negativ sein kann, oder nicht?
5 Antworten
Dazu kann man so vorgehen:
- Suche die Nullstellen von f, also die Lösungen der Gleichung f(x) = 0. Da f quadratisch ist, hat sie entweder keine, genau eine oder zwei Nullstellen.
- Falls f keine Nullstelle hat, sind entweder alle f(x) > 0 oder alle f(x) < 0 (denn um das Vorzeichen zu wechseln, müsste f die x-Achse schneiden, also dort eine Nullstelle haben). Berechne f(x1) für einen beliebigen Wert x1. Falls f(x1) < 0, sind alle f(x) < 0. Falls f(x1) > 0, sind alle f(x) > 0, also kann dann kein Funktionswert negativ sein.
- Falls f genau eine Nullstelle x0 hat, gilt entweder für alle x ≠ x0 f(x) > 0 oder für alle x ≠ x0 f(x) < 0. Teste wie in Nr. 2, welcher der beiden Fälle zutrifft.
- Falls f zwei Nullstellen hat, wechselt f dort jeweils das Vorzeichen und hat zwischen den beiden Nullstellen überall dasselbe Vorzeichen und außerhalb überall das entgegengesetze Vorzeichen. Insbesondere kann der Funktionswert negativ sein.
Nullstellen berechnen und für die daraus entstehenden Intervalle jeweils einen Wert einsetzten.
Oder f(x) < 0 versuchen zu lösen.
Was wie zum beispiel?
f(x) = x^2 - 4
x^2 - 4 = 0
x^2 = 4
x = +- 2
--> (-unendlich;-2] (-2;2) [2;unendlich)
- Intervall: f(-5) > 0
- f(0) = -4 < 0
- f(5) > 0
Also hat die Funktion im Intervall von (-2:2) negative Funktionswerte
Falls du es direkt über f(x) < 0, hier x^2 - 4 < 0 lösen willst, brauchst du Fallunterscheidung.
Indem du versuchst, die Ungleichung f(x) < 0 zu lösen.
ja, aber dann steht da sowas wie x kleiner.... aber ich will ja nicht x wissen, sondern ob f(x), der Funktionswert, kleiner als 0 sein kann
Dann kann man Bedingungen für x ausrechnen, für die f(x) kleiner 0 ist.
verstehe ich nicht ganz??? Können Sie vlt. ein Beispiel machen?
dann weiß ich, wie groß x sein darf, aber doch nicht, ob der funktionswert negativ sein kann, oder?
Wenn du mit "f(x) < 0" anfängst, erhälst du (möglicherweise) Bedingungen für x, für die f(x) < 0 ist (Probe nicht vergessen). Bsp: f(x) = x -1
f(x)= x-1 < 0
x < 1, für diese x-Werte ist f(x) < 0
und was passiert, wenn es keine negativen Werte gibt? Danke nochmal, sehr hilfreich deine Antwort :D
Wenn es keine negativen Werte gibt, kommt bei der Ungleichung Unsinn raus. Z.B. f(x) = x^2 < 0
Betrag(x) < 0
was ist daran unsinn? also +x kleiner 0 -x kleiner 0 moment, jetzt muss ich mal das erst verarbeiten
das heißt ja +x kleiner 0 und -x kleiner 0, dann muss man ja -x kleiner 0 beachten, aber da ist doch nix komisch, oder bin ich jetzt selber ein bisschen verwirrt
oh, ah stimmt (hehe), das ist mir überhaupt nicht in den Sinn gekommen, gut, aber jetzt weiß ich das ja. Heißt also -x und +x müssten beide größer gleich 0sein?
Ja, das müssen sie, so ist nämlich der Betrag definiert.
okay danke, die Diskussion war wirklich hilfreich. Du hast dir eine Auszeichnung verdient :D
Indem du einen negativen Funktionswert in die Gleichung einsetzt und überprüfst ob es eine Lösung gibt
Du guckst dir die Funktion an.
ja, wie zum Beispiel?