Wie berechne ich eine Sprungschanze bei einer Murmelbahn genau?
Hallo zusammen,
Ich habe ein Projekt in der Schule bei der ich eine Murmelbahn entwerfen soll. Ich hatte die Idee, da zwei unterschiedliche Startpunkte gefordert sind, die Kugeln aus zwei verschiedenen Höhen starten zu lassen. Sie würden horizontal starten und dann eine Schanze mit einer Steigung von 45° hinunterrollen. Unten angekommen sollen sie in einem 45° Winkel nach oben aus der Bahn hinausfliegen. Da sie aus unterschiedlichen Höhen gestartet sind wollte ich es so gestalten, dass die Kugel die weiter unten gestartet ist (B) einen kleinen Sprung macht und in einer anderen Bahn landet (B'). Die Kugel die weiter oben gestartet ist (A) soll einen größeren Sprung machen und in einer Bahn dahinter landen (A'). Ich weiß jedoch nicht genau wie ich die Absprungweite berechnen kann, bzw. aus welcher Höhe ich die Kugeln starten müsste um jeweils auf die anderen Bahnen zu kommen.
Hier ein paar Angaben:
- Kugelmasse = 0,0055 kg
- α = 45°
- Hangabtriebskraft Fa = 0,0382 kg*m/s² [ab der 45°-Schräge]
- a = 6,95 m/s² [ab der 45°-Schräge]
1 Antwort
Was Du hier machen willst, wird schräger Wurf genannt. Unter diesem Suchbegriff findest Du viele Erklärungen und Beispiele.
Z.B. auch hier: https://www.leifiphysik.de/mechanik/waagerechter-und-schraeger-wurf
Bevor du den schrägen Wurf berechnen kannst, mußt Du wissen, mit welcher Geschwindigkeit die Murmeln von der Sprungschanze abfliegen.
Du kannst das zwar mithilfe von Hangabtriebskraft, Masse, Beschleunigung abschätzen, aber das ist mühsam zu rechnen. Am einfachsten geht das mithilfe des Energieerhaltungsprinzips. Du überlegst, daß die Murmeln zu Beginn eine bestimmte potentielle Energie haben, die dann zu kinetischer Energie wird.
Ganz exakt bekommt man die Geschwindigkeit so oder so nicht, aber vielleicht sollst Du es für deine Aufgabe auch nicht genauer machen.
Wenn man die Murmelbahn wirklich bauen will, sollte man die Abfluggeschwindigkeit genauer wissen, und dafür muß man mehr berücksichtigen: Beim Rollen wird ein Teil der pot. Energie durch Reibung und Luftwiderstand zu Wärme, und ein Teil wird zu Rotationsenergie, weil die Murmel sich beim Rollen dreht. Darum fliegt die Murmel nicht ganz so schnell, wie die ungefähre Rechnung ergibt.
Falls Du so genau arbeiten willst, kannst Du die Rotationsenergie auch berechnen: https://www.leifiphysik.de/mechanik/drehbewegungen/grundwissen/rotationsenergie
Die ersten beiden Werte, V1 = 2,620 m/s und V2 = 2,215 m/s, kann ich bestätigen.
Ab dann kann ich nichts mehr sagen, weil dafür mehr Information benötigt wird.
Welche Höhe hat der Punkt des Absprungs über dem tiefsten Punkt? Die potentielle Energie der Kugel nimmt bis zu diesem Punkt ja wieder zu und muß von ihrer kinetischen Energie abgezogen werden, bevor man aus ihr die Geschwindigkeit beim Absprung berechnet.
Der Absprung erfolg sobald die rampe wieder 45 grad erreicht hat. Die genaue höhe weiß ich nicht. Ich habe mit der formel V = V1 x cos(45) gerechnet
Zwei Vorgehensweisen bieten sich an, um weiter zu kommen.
(a) Man arbeitet bewußt ungenau und behauptet, daß die Höhe des Absprungpunktes ungefähr Null ist und vernachlässigbar ist. Dann ist die Geschwindigkeit beim Absprung ungefähr gleich der Geschwindigkeit am tiefsten Punkt.
(b) Man ändert die Konstruktionszeichnung so, daß die Höhenangaben der Startpunkte sich auf den Absprungpunkt beziehen. Dann muß man nichts vernachlässigen. Die Tiefe der Kuhle vor dem Absprungpunkt kann uns ganz egal sein, weil allein der Höhenunterschied zwischen Startpunkt und Absprungpunkt die Energie festlegt, die die Murmel beim Absprung hat. Nur auf diese Energie kommt es für die weitere Rechnung an, denn aus ihr ergibt sich die Geschwindigkeit beim Absprung und der Rest wird als ein ganz normaler schräger Wurf gerechnet.
b klingt besser. Wie genau muss ich das dann in meine Rechnung mit einbeziehen? Einfach nur die Höhe zwischen absprungpunkt und den tiefsten punkt von der gesamthöhe abziehen? Mfg
Ja, oder anders ausgedrückt: die Höhe des Absprungpunktes als Null festlegen. (Der Weg der Murmel durch die Kuhle führt dann durch negative Höhenwerte, aber dieser Wegabschnitt interessiert für die Sprungberechnung nicht, wenn man mit dem Energieerhaltungsprinzip arbeitet und die Reibung vernachlässigt).
Kleines Update zur Bahn: Ich habe mehrere Rechnungen ausprobiert und kam auch auf ein Ergebnis. Wäre super wenn jemand das nochmal nachrechnen könnte und Fehler oder falsche Herangehensweisen aufzeigen könnte.
Als Ergebnisse hab ich:
Danke für eure Unterstützung.
Mfg