Wie berechne ich den Tangenteneinheitsvektor?
Hallo, wie kann ich den Tangenteneinheitsvektor einer Kurve im Punkt (4,Wurzel (2),arctan(1)) berechnen
Ich kenne da die Formel
X'(t) /Betrag von x'(t)
Die Funktion um die es geht lautet
X(t) =4 Wurzel (2-t)
t *wurzel(1+t)
Arctan(t)
X'(t)=-2/wurzel(2-t)
(3t+2) /2wurzel(t+1)
1/(t^2+1)
Gesucht ist auch der Schnittpunkt mit der X Achse
Dafür habe ich den Punkt (2|0|0)ermittelt wobei (t*wurzel (1+t)auch bei x=-1 0 wird
Habe ich den Punkt richtig ausgerechnet?
Vielen Dank für eure Hilfe und Bemühungen und wünsche euch allen einen schönen Tag
1 Antwort
Nun, die Ableitung x'(t) gibt dir schon mal einen Vektor, der tangential zur Kurve zeigt. Um den Tangenteneinheitsvektor zu berechnen, musst du x'(t) nur noch normieren, also durch seinen eigenen Betrag teilen.
Wie bist du denn auf (2|0|0) als Schnittpunkt mit der x-Achse gekommen? Das scheint mir falsch zu sein.
Auf der x-Achse werden aber nicht alle drei Koordinaten Null sondern nur zwei von ihnen, alle drei werden nur genau im Ursprung gleich Null!
Es ist ja 1 einziger Punkt gesucht der den Einzigen Schnittpunkt zur X Achse bildet
Ja, richtig! Seine drei Koordinaten sind eindeutig festgelegt, aber nicht alle drei gleich Null.
Richtig! Also finde solche Werte von t, für die y und z beide Null werden.
Richtig! Was fehlt uns noch, um den Punkt angeben zu können?
Dann ist der Schnittpunkt
Weil t=0 in die X Koordinate eingesetzt wurde
(4*wurzel (2))
(0)
(0)
Ja eigentlich schon
Aber wenn ich diesen Punkt einsetze um die Koordinaten des Vektors x'(t) zu ermitteln sehe ich das Problem mit einer negativen Wurzel die es in den reelen Zahlen nicht gibt
Punkt (4,Wurzel (2),arctan(1))
Verstehe nicht, was du wo einsetzt. t=0 lässt sich sowohl in x als auch in x' super einsetzen, ohne dass irgendwas komplex wird.
Beim Schnittpunkt würde es ja ganz einfach gehen
Aber die Aufgabe verlangt ja was anderes
Ich soll den Tangenteneinheitsvektor
Von dem Punkt
P( (4|Wurzel (2)|arctan(1))
Berechnen
Da habe ich versucht in den Vektor x'(t) einzusetzen
X'(t)=-2/wurzel(2-t)
(3t+2) /2wurzel(t+1)
1/(t^2+1)
Aber schon beim ersten Wert 4
Habe ich gemerkt denn kann ich nicht einsetzen ohne das eine negative Wurzel rauskommt
Warum möchtest du auch die x-Koordinate vom Vektor X für das t in X' einsetzen? ;) t ist nicht dasselbe wie x!
Nun, du bräuchtest offenbar ein passendes t, um dein X' auswerten zu können. Hast du eine Idee, wie du aus dem Punkt das passende t ermitteln kannst?
Dann müsste ich ja den Vektor x'(t) Gleichsetzen mit dem Punkt um t auszurechnen
Du meinst hoffentlich X(t) gleichsetzen, nicht X'(t), oder? Das wäre richtig.
Für den Tangenteneinheitsvektor ist ja die Ableitung wichtig deswegen dachte ich zuerst an x'(t)
Deshalb setzt du das t dann auch in den Tangenteneinheitsvektor ein. Aber um das passende t herauszufinden, musst du die Information nutzen, die dir gegeben ist, und das ist der Punkt P und nicht Der Tangentenvektor X'.
Du meinst das also so ?
4 =4 Wurzel (2-t)
Wurzel(2)=t *wurzel(1+t)
Arctan(1)=Arctan(t)
Das Wäre P=x(t)
Richtig! Und, gibt es ein t, das alle drei Gleichungen erfüllt?
Ja, ich denke ich muss
X'(1) berechnen und dann in die Formel
X'(t) /Betrag von x'(t) einsetzen
X'(1)=-2/wurzel(2-1)=-2
(3*1+2) /2wurzel(1+1)=5/2wurzel (2)
1/(1^2+1)=1/2
X'(1)=( - 2|5/2wurzel (2)|1/2)
Betrag = Wurzel (-2*-2+ 5/2wurzel (2)^2+1/2*1/2)
=Wurzel (4+ 25/2 +1/4)
=Wurzel (16/4+50/4+1/4)
=Wurzel (67/4)= Wurzel (67)/2
Tangenteneinheitsvektor
( - 2|5/2wurzel (2)|1/2)/Wurzel (67)/2
Meinst du den das ich den Vektor noch weiter vereinfachen kann oder soll ich den so stehen lassen?
Tangenteneinheitsvektor
( - 2|5/2wurzel (2)|1/2)/Wurzel (67)/2
Ich hab noch eine Frage zum Tangentenvektor von dem Schnittpunkt
Ich soll den berechnen und dann den Winkel zu einem gegebenen Vektor
Wie kann ich das machen?
Genau, das gibt dir den Kosinus des eingeschlossenen Winkels.
Ich habe es ausgerechnet und kam auf 4 Wurzel (2)
S*(1|0|0)/Beträge
Jetzt muss ich ja arcos(4 Wurzel (2) berechnen um den Winkel zu bekommen
Was hab ich denn falsch gemacht, weil ich keinen Winkel herausbekommen kann?
Cos ^-1 ist für den Wert von 4*Wurzel(2)bekanntermaßen nicht definiert
Wahrscheinlich Eingabefehler bei der Taschenrechnereingabe. Egal welche zwei Vektoren du nimmst, a*b/|a||b| ist immer kleiner gleich 1.
Ich hab das ja auch so gemacht aber
Arccos (4Wurzel(5)) kann man trotzdem nicht berechnen
Ich Habs mehrfach eingetippt aber kein Ergebnis für den Winkel erhalten
Der Eingabefehler ist offensichtlich früher schon passiert, also du den Wert 4*wurzel(5) berechnet hast.
Das will ich miteinander verrechnen
Also habe ich. Hiervon das Skalarprodukt gebildet
(4*wurzel (2))(0)(0)*(1|0|0)
Und das sind ja 4*Wurzel (2)
Da irgendwas mal 0 immer 0 ist
Ja und wo dividierst du durch die Beträge? ;)
Bei diesen zwei Vektoren ist übrigens direkt zu sehen, dass sie einen Winkel von 0° einschließen, da sie beide entlang der x-Achse zeigen.
Das hab ich natürlich danach gemacht
(4*wurzel (2))(0)(0)*(1|0|0)/(wurzel (4*wurzel (2)) ^2 * wurzel (1)^2)
0^2 habe ich bei der Berechnung weg gelassen weil das am Ergebnis ja nichts ändert
Und warum bekommst du nicht 1 heraus?
(4*wurzel (2))(0)(0)*(1|0|0) = 4*wurzel (2)
(wurzel (4*wurzel (2)) ^2 * wurzel (1)^2) = 4*wurzel (2)
(4*wurzel (2))(0)(0)*(1|0|0)/(wurzel (4*wurzel (2)) ^2 * wurzel (1)^2) = 1
Dann hab ich wohl vergessen durch den Betrag zu teilen und dachte echt ich habe den falschen Vektor genommen zu haben
Wie gesagt, egal welche Vektoren du nimmst, das Skalarprodukt dividiert durch das Produkt der Beträge gibt immer einen Wert zwischen -1 und 1. ;)
X(t) =4 Wurzel (2-t)
t *wurzel(1+t)
Arctan(t)
Ich habe die Nullstellen jeder Komponente berechnet
4 Wurzel (2-t)
Wird 0 wenn
2-t=0 und das ist ja wenn t=2 ist gegeben