Wenn man über eine Äquivalenzrelation spricht, dann meint man damit unteranderem Äquivalenzzeichen, wie Gleichheitszeichen usw...?
Hallo
Das heißt, dieses Tilde ~ Zeichen steht für eine Äquivalenzrelation, und auch für eine Äquivalenzzeichen, wie z.B. das Gleichheitszeichen = , oder kongruent ≡, und so weiter...
Oder?
Ich kann dir immer noch nur empfehlen, dir ein Lehrbuch zu nehmen und das durchzuarbeiten. Wikipedia ist einfach nicht als Lehrplattform gedacht und auch didaktisch furchtbar.
Ich habe viele Mathebücher, aber sie enthalten wiederum viele viele Sachen als vorausgesetzt und zeigen die Sachen nicht in Alternativen. Das ist sehr mühsam für Anfänger
3 Antworten
Das Tilde Symbol ist einfach nur ein Zeichen, welches man benutzt um zu sagen, welche Elemente in Relation zueinander stehen. (Hier wird aber explizit gesagt, dass Tilde eine Äquivalenzrelation sein soll)
Gleichheit und Kongruenz sind beides Äquivalenzrelationen, aber nicht jede Äquivalenzrelation muss sowas sein.
Zum Beispiel die Abbildung im Screenshot:
Zwei Bücher stehen in Relation wenn die ISBN identisch ist. Das ist aber keine Gleichheitsrelation, da es physisch zwei Verschiedene Bücher sind, sie haben aBer halt die selbe ISBN
Anderes Beispiel:
Ein Theater hat mehrere Sitzreihen. Zwei Gäste sind in Relation, wenn sie in der selben Reihe sitzen. Dies ist eine Äquivalenzrelation (lässt sich leicht überlegen), aber eben keine Gleichheit, da zwei verschiedene Personen in Relation stehen können.
1) Ups stimm, tilde wird wohl wirklich nur für Äquivalenzrelationen benutzt, hatte es iwie anders in Erinnerung, mein fehler.
2) ja könnte man so sagen
3) nun ja wenn du das Entspricht Zeichen Zeichen si definierst, dass zwei Objekte in Relation zueinander sind wenn sie den selben Wert haben, dann hättest du eine Äquivalenzrelation.
Dann müsstest du aber dann auch Ausdrücke wie 5 Äpfel entsprechen 4 Bananen, wenn 4 Bananen ein Euro kosten würden.
Eine Äquivalenzrelation ist in erster Linie einfach eine reflexive, symmetrische und transitive Relation auf eine Menge.
Man kann das verstehen, wie die Gemeinsamkeit einer Eigenschaft für zwei äquivalente Elemente.
Dabei sind eben z. B. Gleichheit oder Kongruenz typische Äquivalenzrelationen
Ein weiteres berühmtes Beispiel über den ganzen Zahlen: Das ist die gleiche Relation, wie:
Bezüglich dieser Relation sind alle ganzen Zahlen äquivalent, die bei der euklidischen Division (Division mit Rest) durch n den gleichen Rest lassen.
Durch eine Äquivalenzrelation werden Äquivalenzklassen definiert.
Äquivalenzklassen sind Teilmengen der Menge, über der die Äquivalenzrelation gegeben ist mit der Eigenschaft, dass alle Elemente der Äquivalenzklasse bezüglich der Äquivalenzrelation äquivalent sind.
Die Äquivalenzklasse zu einem Element a bezeichnet mal gängigerweise als [a]
Damit definiert eine Äquivalenzrelation über eine Menge eine sogenannte Quotientenmenge.
Die Quotientenmenge ist die Menge aller Äquivalenzklassen:
Nehmen wir das Beispiel von oben:
Damit ergeben sich für Z/~ die Äquivalenzklassen [0], [1], ..., [n-1] und in jeder Äquivalenzklasse sind alle Elemente aus Z enthalten, die bei der euklidischen Division durch n den selben Rest lassen.
Man sieht: Unsere Quotientenmenge Z/~ entspricht dem Restklassenring Z_n
Vielleicht noch zu meiner Schreibweise:
Ich habe die sogenannte Infix - Notation benutzt.
Sei A eine Menge.
Wir definieren eine Relation R über A.
Nach dem, wie ihr das gemacht habt, bedeutet das: R c AxA (R ist Teilmenge von dem Kartesischen Produkt aus A und A)
Die Infix - Notation ist folgendermaßen definiert:
Für a,b Element aus A schreiben wir aRb, wenn (a,b) Element aus R ist.
Das Tilde Symbol steht für eine Relation. Sie könnte Gleichheit, Kongruenz, aber auch die abgebildete Relation sein.
Relationen werden hier als Elementpaare dargestellt. So, wenn a und b in dieser Relation stehen, dann ist (a, b) ihres Element, und es steht a ~ b.
Hallo,
danke erstmal.
1.Also steht dieses Tildezeichen ~ nicht nur für Äquivalenzrelationen, sondern für alle Art von Relationen ?
Das Problem ist, dass ich nirgends gelesen habe, dass Tilde für alle Art von Relationen stehen soll. Vielmehr habe ich in Wikipedia gelesen, dass dieses Tildezeichen bezogen auf Relationen für Äquivalenzrelationen verwendet wird.
2) Ja, es sind physisch zwei verschiedene Bücher, aber bezogen auf die ISBN sind sie identisch, und genau in dem Punkt bilden sie zueinander eine Äquivalenzrelation. Richtig so?
Das könnte man dann mit einem ,,Entsprichtzeichen ≙ " darstellen. Ein Entsprichtzeichen ist auch eine Äquivalenzrelation, bei dem zwei Objekte zueinander in Beziehung gestellt werden. Auch als Beispiel, dass 5 Äpfel 1 € kosten. Äpfel sind nicht das gleiche wie Geld, aber dafür kann man das Entsprichtzeichen verwenden, um so die Äquivalenzrelation anzuzeigen. Richtig so?
Ansonsten danke.