Wendepunkte/Sattelpunkte?

Die Funktion lautet f(x)= x^4-12x

f‘(x)=4x^3-12

f‘‘(x)= 12x^2

f‘‘‘(x)=24x

wenn ich f‘‘ gleich Null setze bekomme ich x=0

f‘‘‘(0) ist aber 0

also wende ich das vorzeichenwechselkriterium an (VZW der 2. Ableitung überprüfen )

da ist aber kein VZW

heisst das dann dass f keinen Wendepubkt hat oder ist das dann ein sattelpunkt?

Answer 1

[Halbrecht]

weil die 2te gleich 0 ist , ist es kein extrempunkt.

Also steht WP oder SP zur Diskussion.

erst wenn die dritte Ableitung ungleich Null ist , dann ist es ein Sattelpunkt.

beispiel

x3

3x2

6x

6 ist die dritte ableitung und nicht gleich Null : f(x) = x³ hat an der Stelle x = 0 einen SP.

Komplizierter wird es wenn der Grad größer ist als 3 , z.B. x hoch 5 ......... da ist dieses zu beachten:

Answer 2

[fjf100]

Tipp:Besorge dir privat einen Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe.

Ohne solch ein Ding,kannst´e gleich einpacken.

Mein GTR zeichnet mit y=f(x)=x⁴-12*x eine noch oben offene Parabel und des halb,gibt es hier keinen Wendepunkt

Hinweis:Der Wendepunkt trennt zwei Kurvenbögen ,konves und konkav.

siehe Mathe-Formelbuch Kapitel Differentialgeometrie "Krümmung"

k=y´´/(1+(y´)²)^(3/2)

krümmung k k<0 konvex (Rechtskrümmumg,von oben gesehen)

k>0 konkav (linkskrümmumg

y´´=f´´(x) ist die 2.te Ableitung also findet ein Vorzeichenwechesel statt,wenn ein Wendepunkt vorliegt.

f(x)=x⁴-12*x ergibt f´(x)=4*x³-12 und f´´(x)=12*x²

f´´(0,1)=12*0,1²=positiv und f´´(-0,1)=12*(-0,1)²=positiv kfein Vorzeichenwechsel

also auch kein Wendepunkt

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Answer 3

[precursor]

f(x) = x ^ 4 - 12 * x

f´(x) = 4 * x ^ 3 - 12

f´´(x) = 12 * x ^ 2

f´´´(x) = 24 * x

f4(x) = 24 (soll die 4-te Ableitung sein)

f5(x) = 0

f6(x) = 0

f7(x) = 0

.

.

.

https://de.wikipedia.org/wiki/Wendepunkt

Schau auf dieser Webseite unter dem Abschnitt "Hinreichendes Kriterium unter Verwendung weiterer Ableitungen."

n = 4 und 4 ist keine ungerade Zahl, deshalb gibt es keinen Wendepunkt.

Manche Internet - Rechner liefern falsche Ergebnisse !

Auf Wolfram Alpha kann man sich in dieser Hinsicht aber verlassen :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=inflection+point+x+%5E+4+-+12