Was wurde im letzten Schritt gemacht?

Answer 1

[evtldocha]

Es wurde auf einen gleichen Nenner gebracht (Der Rest der Terme geht gegen Null, da "n" im Nenner steht)

$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{13}{12}$

oder meinst Du den Schritt davor?

Wenn ja, da wurde die Summe in zwei Teil-Summen zerlegt, der Laufindex nur bei 4 gestartet und die Summen gegeneindander aufgerechnet.

Nachtrag nach Kommentar (ich lasse das Limes Gedöns alles erstmal weg):

(1) Summe erster Teil: Die ersten 3 Summanden werden explizit geschrieben und der Rest beginnt dann bei k=4:

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\sum_{k=4}^n\frac{1}{k+1}$

(2) Summe zweiter Teil:

Nach der Indextransformation j=k+3 werden die letzen drei Glieder abgespalten (j=n+1, j=n+2 und j=n+3) so dass der Index "j" ebenfalls bei "n" endet. Zur Verdeutlichung habe ich noch eine Klammer um die Summe gemacht:

$\sum_{k=1}^n\frac{1}{k+4}=^{^{j=k+3}}\ =\sum_{j=4}^{n+3}\frac{1}{j+1}\ =\left(\sum_{j=4}^n\frac{1}{j+1}\ \right)+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\frac{1}{n+4}$

Nun ist es ja egal, ob der Index j oder k genannt wird. Die Summen sind ja gleich und daher heben sich die beiden beim Index 4 beginnenden und bei "n" endenden Summen wegen des negativen Vorzeichens völlig auf und es bleiben die abgespaltenen Teile übrig.

Comments

[Mgtxh134]

Vielen Dank, aber könntest du mir auch sagen, woher der restliche Teil herkommt, also ab -1/n+2 + ...

[evtldocha]

@Mgtxh134

Ja - wenn Du bei den negativen 1/(k+4) in eine "aufrechenbare" Summe umwandeln willst, dann muss Du eine Indextransformation j=k+3 machen und der Laufindex geht dann bis n+3 und nun spaltest Du du letzten 3 Glieder ab damit der Laufindex wieder - wie im positiven Term bis "n" geht. Dann heben sich die mittleren Terme mit dem Summenzeichen raus.

[evtldocha]

@evtldocha

Wenn das nicht ganz verständlich ist, dann sag Bescheid. Ich würde das dann versuchen noch aufzuschreiben.

[Mgtxh134]

@evtldocha

Kapiere das nicht wirklich, wäre mega nett wenn du das aufschreiben könmtest

[evtldocha]

@Mgtxh134

Ich habe nochmal einen Nachtrag geschrieben. Das mit der Indextransformation muss man sich wirklch "zu Gemüte führen", denn das geschieht sehr, sehr oft in irgendwelchen Beweisen oder Rechungen quasi "im Vorbeigehen" (so wie in dieser Lösung).

[Mgtxh134]

@evtldocha

Danke schön, hab vielen Dank für deine Hilfe

[BorisG2011]

@evtldocha

Diese Erklärung beschreibt die Vereinfachung einer Teleskopsumme. Das ist hier völlig richtig, da die endliche Summe, die man für die Grenzwertbildung verwendet, tatsächlich eine Teleskopsumme ist. Schade, dass das nicht im Lösungsvorschlag steht. Das Stichwort "Teleskopsumme" hätte nämlich für etwas mehr Klarheit sorgen können.