Was sind transzendente Zahlen?

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2 Antworten

Das sind irrationale Zählen, die nicht  Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sein können. Ein solches ist zum Beispiel 2x^3 +4x^2+5 = 0.Die Zahl π oder die Eulersche Zahl e ist zum Beispiel transzendent, nicht aber √2 (die ist algebraisch iirational). 

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Möglichst einfach geht in dem Fall leider nicht. Vermutlich ist dir die Erklärung in Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Transzendente_Zahl) (oder anderswo) auch zu kompliziert, wonach 'eine reelle Zahl transzendent genannt wird, wenn sie nicht als Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ungleich dem Nullpolynom auftreten kann.' Im Grunde genommen bleibt dir dann nur, dass du dich schrittweise an das Verständnis dieser Definition herantastet. Ich fand die Erklärung in 'Rationale und irrationale, algebraische und transzendente Zahlen' von Joachim Kammerer eigentlich ganz gut (aber: feel free to look for a better one):

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PWolff 29.02.2016, 13:50

Insbesondere sind alle Wurzeln algebraischer Zahlen wieder algebraisch.

Leider nicht nur diese, sonst könnte man die algebraischen Zahlen sehr viel leichter erklären.

Die Nullstellen von Polynomen maximal 4. Grades mit ganzzahligen Koeffizienten lassen sich noch durch Wurzeln und gebrochen-rationale Ausdrücke darstellen (3. Grades: Cardano, 4. Grades: Ferrari).

Aber es gibt Polynome 5. Grades mit ganzzahligen Koeffizienten (und natürlich auch höheren Grades), deren Nullstellen sich nicht mehr durch Verkettungen von Wurzeln und rationalen Funktionen darstellen lassen.

Als didaktischen Zwischenschritt würde ich die Wurzeln und die Verkettungen von Wurzeln und rationaler Funktionen aber auf jeden Fall erwähnen.

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