Was ist ein Linearfaktor?

Ich schreibe Montag eine Matheklausur. Dafür muss ich wissen, was Linearfaktoren sind. Ich habe die Linearfaktorzerlegung verstanden, aber wofür braucht man das alles?

Answer 1

[mihisu]

Ein Linearfaktor ist ein Term der Form

$x-b_i$

mit der Variablen x und einer Zahl bᵢ.

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Beispiel:

Zum Funktionsterm

$3x^2-21x+30$

kann man die entsprechende Linearfaktorzerlegung

$3\cdot\left(x-2\right)\cdot \left(x-5\right)$

angeben. Dabei sind dann x - 2 und x - 5 die Linearfaktoren in dieser Linearfaktorzerlegung.

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Beispiel 2:

Zum Funktionsterm

$2\,x^3+2\,x^2-66\,x+126$

kann man die Linearfaktorzerlegung

$2\cdot \left(x-3\right)^2\cdot \left(x+7\right)$

bzw.

$2\cdot \left(x-3\right)\cdot \left(x-3\right)\cdot \left(x-\left(-7\right)\right)$

finden. Dabei sind dann x - 3 und x + 7 die Linearfaktoren, die in dieser Linearfaktorzerlegung vorkommen.

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aber wofür braucht man das alles?

Das macht man, um eine Form zu haben, in der die Nullstellen des Polynoms gut ablesbar sind. So kann man dann beispielsweise auch recht gut erkennen, in welchen Intervallen der Funktionswert des Polynoms welches Vorzeichen hat.

Bzw. kann man andererseits auch bei bekannten Nullstellen dann schnell und einfach ein Polynom mit den entsprechenden Nullstellen angeben.

In der Praxis kann das beispielsweise bei Polynominterpolation relevant sein. Beispielsweise erhält man bei Langrange-Polynominterpolation die Langrangepolynome recht einfach anhand ihrer Linearfaktorzerlegung.
https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation#Lagrangesche_Interpolationsformel

Answer 2

[Bikie]

wofür braucht man das alles?

Zum beispiel für die interpretation von linearen gleichungssystemen

Answer 3

[Roderic]

Nach einer Linearfaktorzerlegung einer Polynomfunktion kann man deren Nullstellen direkt ablesen.