Was ist der rechte- bzw. linke Cauchy-Green Tensor?
Kann mir jemand die Funktion eines Cauchy-Green Tensors und den Unterschied des linken bzw. rechten näher bringen?
2 Antworten
Die andere Antwort ist leider nicht korrekt. Es handelt sich beim linken und rechten Cauchy-Green-Tensor um Maße für Deformationen.
Dabei ist der relevante Unterschied, dass sich ein Maß (der rechte, also C) auf die Referenzkonfiguration und ein Maß (der linke, also B) auf die Momentankonfiguration bezieht.
Zentral ist dabei die Überlegung, dass es möglich ist, die Deformation eines Körpers in zwei Anteile, eine Streckung und eine Rotation, zu unterteilen.
Hier kann entweder die Rotation oder die Streckung zuerst vorgenommen werden.
Dafür werden dann die Maße des linken und rechten Strecktensors eingeführt, mit denen zusammen mit dem Rotationstensor eine polare Zerlegung des Deformationstensors F durchgeführt werden kann
Wird zuerst gestreckt und anschließend rotiert, kommt der rechte Strecktensor zum Einsatz und F lässt sich wie folgt zerlegen: F = R * U (* soll hier die einfache Überschiebung/Matrixmultiplikation sein)
Wird zuerst rotiert und anschließend gestreckt, kommt der linke Strecktensor zum Einsatz und F lässt sich wie folgt zerlegen: F = V * R
Der Rotationstensor ist dabei unabhängig von dem Verfahren identisch. Linker und rechter Strecktensor sind aber in der Regel nicht gleich.
Verwendet man jetzt diese beiden Maße um einmal den linken und einmal den rechten Cauchy-Green-Tensor herzuleiten, so sieht man, dass dieses Maß (wenn R orthogonal ist, was fast immer zutreffend ist) frei von jeglichen Rotation ist:
B = F * F^T = V * R * (V * R)^T = V * R * R^T * V^T (Orthogonalität von R --> R^T = R^-1)
B = V * V^T (Rechter und linker Strecktensor sind symmetrisch)
B = V^2
C = F^T * F = (R * U)^T * R * U = U^2 (etwas abgekürzt)
Vorteile von diesen Tensoren sind dann, dass sie keine Rotationen beinhalten und symmetrisch sind.
Das sind Stress-Tensoren, sprich Matrizen, die mechanischen Stress beschreiben.
Wir haben:
C = F^T * F;
B = F * F^T;
Wobei C der rechte Cauchy-Green-Stress-Tensor, B der linke Cauchy-Green-Stress-Tensor ist.
F ist der Deformationsgradient.
Siehe auch:
https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_strain_theory#Fundamental_strain_tensors
Weiß ich nicht. Ich denke mal man wird irgendwie den Stress damit anders messen.
Danke. Also mathematisch gesehen liegt der Unterschied in der Reihenfolge des Deformationsgradienten und seiner Transponierten. Was hat das anschaulich für eine Bedeutung? Beschreiben beide exakt dasselbe?