Was hat bei gleichem Volumen größere Oberfläche, ein Quader oder eine Kugel?

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Ist das Volumen eines Würfels mit Vw gegeben, ist die Seite s = Vw^(1/3) lang. Die Oberfläche ist dann Ow = s^2 * 6 = Vw^(2/3) * 6

Ist das Volumen einer Kugel mit Vk gegeben, ist r = (Vk * 3/4 * 1/pi)^(1/3). Die Oberfläche ist dann Ok = 4 * pi * r^2 = 4 * pi * (Vk * 3/4 * 1/pi)^(2/3) =
4 * pi * Vk^(2/3) * (3/4 * 1/pi)^(2/3).

Gilt Vw = Vk, ist also entscheidend ob

6 > 4 * pi * (3/4 * 1/pi)^(2/3) gilt.

Diese Ungleichung ist erfüllt, denn 4 * pi * (3/4 * 1/pi)^(2/3) = 4,8359...

Die Oberfläche der Kugel ist also immer um den Faktor 4,8359... / 6 = 0,80599... kleiner.

... und was ich nie vermutet hätte, dass das Verhältnis der Oberfläche der beiden Körper eine Konstante ist. Vielen Dank für diese Frage !

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Ich würde auch sagen der Quader. Bsp. ein Würfel ist ja auch ein Quader, eben mit gleich langen Kantenlängen. Ein Würfel, der 1000 Liter Wasser enthält, hat eine Kantenlänge von 1m und somit eine Oberfläche von 6m².

Eine Kugel, die 1000 Liter Wasser enthält, hat einen Radius von ca.0,62m (Formel V= 4/3 x pi x r³ entsprechend umstellen). Den Radius in die Formel A=4 x Pi x r² eingesetzt kommt man auf eine Oberfläche von ca. 4,83m²

Alle diese Angaben sind wie immer ohne Gewähr    :-)

Die Kugel hat von allen Körpern die kleinste Oberfläche bei vergleichbarem Volumen. Also muß es zwangsläufig der Quader sein.

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