Was genau sind die k´s bei der KOmbinatorikformel n!/(k_1!*k_2!*...k_s!)?

$\frac{n!}{k_1!\cdot k_2!...k_s!}$ Bin oftmals bei der Formel angekommen, kann jedoch nciht nachvollziehen, wie nun es zustande kommt, dass man weiß, was in den Nenner kommt?

Ich verstehe das nicht z. B. bei einem Spielfeld, wir haben 17 Felder, 8 weiße Steine und 8 schwarze Steine und ein freies Feld, im Nenner steht jetzt 8!*8!, aber warum? Weil wir 8 weiße und 8 schwarze Steine haben? Und wäre da eigentlich: 8!*8!*1!, wegen dem freien Feld noch?

Answer 1

[aperfect10]

Das ist der sogenannte Multinomialkoeffizient.

https://de.wikipedia.org/wiki/Multinomialkoeffizient

Man kann ihn als die Anzahl der Möglichkeiten aufassen n Objekte in s Teilmengen aufzuteilen, wobei jede der Teilmengen exakt k_i Objekte enthalten soll.

In Deinem Beispiel wäre es also die Anzahl der Möglichkeiten, 17 Felder auf 8 weiße und 8 schwarze Steine aufzuteilen.

Und ja, Du kannst auch $8!\cdot 8!\cdot 1!$ schreiben, denn 1! = 1.

Answer 2

[Schachpapa]

Beim ersten Stein hast du noch die freie Auswahl aus 17 Feldern. Mal 16 Felder für den 2. Stein, mal 15 usw. Für den letzten Stein sind nur noch 2 Felder frei. Da die Steine nur schwarz oder weiß, aber nicht nummeriert, also nicht unterscheidbar sind, teilst du jeweils noch durch die Anzahl der Möglichkeiten die Steine verschieden anzuordnen.

Dann kommst du insgesamt auf $\frac{17\cdot16\cdot\ ...\ \cdot\ 2\ \cdot\ \left(1\right)}{8!\ \cdot\ 8!\ \cdot\ \left(1!\right)}=\ \frac{17!}{\left(8!\right)^2}=218790$ Die 1 bzw 1! ändert nichts am Ergebnis, bei 3 roten, 4 gelben und 5 blauen auf 12 Feldern sähe die Formel so aus: $\frac{12!}{3!\ \cdot\ 4!\ \cdot\ 5!}=27720$ Wenn's hilft, kannst du ein leeres Feld als durchsichtigen Stein betrachten.