Was bedeuten die folgenden Grundbegriffe in der Stochastik?
Hallo zusammen,
ich sitze gerade bei der Nachbereitung eines Mathematik-Moduls für Informatiker mit dem Titel "Mathematische Grundlagen der Datenanalyse". Bei uns werden einige Begriffe verwendet, die ich kaum mehr auseinanderhalten kann, insbesondere folgende:
- Wahrscheinlichkeitsfunktion VS Wahrscheinlichkeitsverteilung (in unserer Vorlesung wurden diese Begriffe anscheinend synonym verwendet, aber das kommt mir komisch vor)
- (Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion
- Verteilungsfunktion
- ... und wie heißt eigentlich das diskrete Gegenstück zu einer Dichtefunktion?
Wenn jemand von euch Zeit hat, mir die Bedeutung dieser Begriffe (und wie genau sie zusammenhängen) zu erklären, wäre das super. Idealerweise so, dass es ein Nicht-Mathematiker (mit halbwegs brauchbarer mathematischer Vorbildung) versteht.
Und wenn jemand auch noch die englischen Übersetzungen dazu kennt, freue ich mich besonders :D
Danke euch :)
1 Antwort
Wahrscheinlichkeitsfunktion VS Wahrscheinlichkeitsverteilung (in unserer Vorlesung wurden diese Begriffe anscheinend synonym verwendet, aber das kommt mir komisch vor)
Sie werden oft synonym verwendet, sind es aber nicht direkt.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist spezifisch für diskrete Zufallsvariablen und ordnet jedem möglichen Wert der Zufallsvariablen eine Wahrscheinlichkeit zu. Beispiel Würfel:
- 1 = 1/6
- 2 = 1/6
- usw.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung hingegen ist eine allgemeinere Bezeichnung, die sowohl diskrete als auch stetige Zufallsvariablen umfasst. Sie beschreibt, wie die Wahrscheinlichkeiten über die möglichen Werte der Zufallsvariablen verteilt sind. Bei diskreten Zufallsvariablen wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion beschrieben.
Quasi wie eine quadratische Funktion das Aussehen einer Parabel beschreibt.
Bei stetigen Zufallsvariablen wird hingegen die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion verwendet. Die Begründung dafür ist einfach:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand 180 cm ist? 0! Weil 180 cm das Interval von 180 bis 181 cm umfasst und sich dieser Bereich in unendlich kleine Stücke unterteilen lässt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand also exakt 180,000000... cm ist beträgt demnach 0.
Bei diskreten Verteilungen ist das nicht der Fall. Entweder du würfelst eine 1 oder eine 2. Eine 1,123145167234... kannst du nicht würfeln.
(Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion
Mit der Dichtefunktion lässt sich letztlich die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Interval berechnen - siehe das Konzept der stetigen Zufallsvariablen, wie in unserem Beispiel der Körpergröße. Dazu wird mittels Integralberechnung die Fläche eines Bereichs bestimmt um die Wahrscheinlichkeit für den Bereich festzustellen.
Verteilungsfunktion
Ist im Grunde die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich einem bestimmten Wert annimmt.
Das wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeiten für alle Werte bis zu diesem bestimmten Wert aufsummiert werden. Bei stetigen Zufallsvariablen entspricht das dem Integral der Dichtefunktion über dem Bereich von minus Unendlich bis zu diesem Wert. (Körpergrößenbeispiel)
Bei diskreten Zufallsvariablen ist es die Summe der Wahrscheinlichkeiten für alle Werte bis zu diesem Wert. Siehe das Würfelbeispiel von vorhin: Mit welcher Wahrscheinlichkeit würfelst du eine Zahl <= 3 ? P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) -> 3/6 = 1/2
... und wie heißt eigentlich das diskrete Gegenstück zu einer Dichtefunktion
Wenn du aufgepasst hast, solltest du das nun wissen? Wahrscheinlichkeitsfunktion😉