Warum wird der Exponent negativ?
Hi, wenn man einen Bruch mit Potenz im Nenner in eine Dezimalzahl umwandelt wird der Exponent negativ. Warum ist das so? Ich würde es gern verstehen. Von meinem Ausbilder bekam ich gerade die Antwort es wäre halt so und ich solle es einfach so anwenden.
4 Antworten
Es ist ja nur eine Form der Notation. Deswegen ist es schwierig, es zu begründen.
Man kann es sich aber plausibel machen, indem man den Übergang betrachtet, also den Exponenten vom positiven ins Negative überführt.
1000 10^3
100 10^2
10 10^1
1 10^0
0,1 1/10 10^-1
0,01 1/100 10^-2
...
Zunächst sind Potenzen nur für natürliche Exponenten definiert durch Daraus ergibt sich eine Rechenregel
Wenn man jetzt die Definition auf andere Exponenten erweitern will, ist es es sinnvoll, wenn diese mit den bisherigen Rechenregeln konsistent ist.
Zunächst soll die Potenz für den Exponenten 0 definiert werden.
Multiplikation mit a⁰ ändert also nichts. Für a ≠ 0 folgt daraus a⁰ = 1. Häufig definiert man auch 0⁰ = 1.
Für negative Potenzen soll auch gelten
Mit Division auf beiden Seiten durch aⁿ erhält manDabei muss a ≠ 0 sein, sonst sind negative Exponenten nicht definiert.
Beispiel:
10⁻² = 0,01 wegen 10⁻² ⋅ 10² = 0,01 ⋅ 100 = 1 = 10⁰
Gute Frage! Gut, dass du es verstehen möchtest.
Das ganze folgt aus der Rechenregel für Potenzen zur Division:
Willst du zwei Potenzen mit gleicher Basis dividieren subtrahierst du die Exponenten:
a^x : a^y = a^(x-y)
Dies lässt sich leicht über das kürzen in Brüchen herleiten (a*a*a*a*a)/(a*a*a) = (a*a)
Nun zu den negativen Exponenten:
Da du Brüche immer mit 1=1/1=3/3 multiplizieren kannst gilt:
1/3^2 = 3^1/3^3= 3^1 : 3^3 = 3^-2
Oder Allgemein:
b/a^x = b*1/a^x = b* a/a * 1/a^x = b* a/a^x+1 = b* a^-x
a^(-n) = a^(-n) * a^n/a^n = (a^(-n)*a^n)/(a^n) = 1/a^n
Reicht das? Sonst wird es tatsächlich einfach so definiert.
Danke, das hat mir geholfen!!