warum sei die Gleichheitsrelation eine Äquivalenzrelation, wir haben doch auch die Antisymmetrie gegeben, also warum sollte das eine Äquivalenzrelation sein?
3 Antworten
Die Reaktion ist Reflexiv, Transitiv und Symmetrisch, also sind die Bedingungen für eine Äquivalenzrelation erfüllt.
Dass diese Relation noch zusätzlich Antisymmetrisch ist, ändert nichts an dem fakt.
Somit ist es im Grunde auch eine Partielle Ordnung (Reflexiv, Transitiv und Antisymmetrisch)
Eine Äquivalenzrelation ist nicht antisymmetrisch (gemeint war asymmetrisch, sorry), die Gleichheitsrelation ist nicht antisymmetrisch (auch hier: asymmetrisch) - wo ist das Problem?
Antisymmetrisch (auch hier asymmetrisch) bedeutet: xRy => y nicht R x.
Wo siehst du das bei der Gleichheitsrelation?
EDIT: Sorry, jetzt habe ich asymmetrisch und antisymmetrisch zusammengeworfen - siehe Korrektur weiter unten
Antisymmetrisch bedeutet:
Für alle x, y aus der Grundmenge gilt: wenn (x,y) in R ist, dann ist ist (y,x) nicht in R. Das gilt für die Gleichheit nicht: Da ist (x,y) genau dann in R, wenn x=y ist - und dann ist natürlich auch (y,x) in R.
genau, aber dann ist ja die Gleichheit auch eine Antisymmetrie? Dementsprechend, warum habe ich in der Gleichheitsrelation keine Antisymmetrie? Ich habe hier doch Antisymmetrie+Symmetrie
Auch hier siehe meine Korrektur weiter unten, sorry.
"Antisymmetrisch heißt eine zweistellige Relation R auf einer Menge, wenn für beliebige Elemente x und y der Menge mit xRy nicht zugleich die Umkehrung yRx gelten kann, es sei denn, x und y sind gleich."
hier: es sei denn, x und y sind gleich. steht auch auf wikipedia
Die gleichheitsrelation hat ja nur Tupel, die gleich sind, auf der linken und rechten Seite --> antisymmetrie gegeben
Ich muss meinen Anfang korrigieren, da war ich bei asymmetrisch.
Aber ein Problem ist das trotzdem nicht: Antisymmetrisch ist nicht das Gegenteil von symmetrisch. Jede Äquivalenzrelation ist symmetrisch. Das heißt aber nicht, dass es nicht auch antisymmetrische Äquivalenzrelationen geben kann. Und die Gleichheitsrelation ist eine solche.
Bei Gleichheit gilt Symmetrie: wenn x=y; dann y=x
Die Antisymmetrie sagt doch aus, dass es keine symmetrie gibt und wenn es eine Symmetrie geben sollte, ist es trozdem antisymmetrisch, wenn die tupelpaare gleich sind, alsl (4,4) z. B.