Äquivalenzrelation, gleichmächtigkeit?
hallo zusammen,
kann mir bitte Jemand die Aufgabenstellung erklären? Irgendwie scheint sie mir falsch formuliert zu sein? Also muss ich hier überprüfen ob die Äquivalenzrelation auf P(N) gleichmächtig ist?
2 Antworten
Nein, du mußt nicht prüfen ob die Äquivalenzrelation "gleichmächtig" ist. Du mußt prüfen, ob die Eigenschaft das zwei Mengen die gleiche Mächtigkeit haben eine Äquivalenzrelation definiert.
Hinweis zur Lösung: Unterscheide die Fälle der endlichen und unendlichen Mächtigkeit. Bei unendlichen Teilmengen verwende für die Bijektion die durch die Ordnungsrelation gegebene Anordnung.
Schau dir die Definition von "zwei Mengen sind gleichmächtig" an.
(Steht ja in der Aufgabe, wo du das findest, Definition 1.4.1.)
Üblicherweise wird definiert: Eine Menge A heißt gleichmächtig zu einer Menge B, wenn es eine Bijektion f: A -> B gibt.
(i) Ist M gleichmächtig zu M? Welche Bijektion gibt es von M nach M? (Tipp: Nicht kompliziert denken, das ist geradezu der einfachste Fall).
(ii) M ist gleichmächtig zu N, d. h. es gibt eine Bijektion f: M-> N. Gibt es dann auch eine Bijektion g: N-> M? Ja? Welche? (Tipp: was macht eine Bijektion aus? Was gibt es immer zu einer Bijektion?)
(iii) M ist gleichmächtig zu N, N ist gleichmächtig zu U. d. h. nach Definition gibt es eine Bijektion von M nach N und eine von N nach U. Damit M gleichmächtig zu U ist (und das sollst du ja zeigen), brauchst du eine Bijektion von M nach U. Wie könntest du dir so eine basteln?
In allen drei Fällen musst du nichts über die Mengen M, N und U oder das genaue Aussehen der Funktionen wissen. Du musst nur wissen, dass eine Menge gleichmächtig zu einer anderen ist, wenn es eine Bijektion gibt.
Die Argumentation ist dann immer mehr oder weniger gleich:
Für (i) Sei eine Menge M gegeben. Dann gibt es eine Bijektion von M nach M, nämlich .... (welche?), also ist M gleichmächtig zu M, also ist die Relation "gleichmächtig" reflexiv.
Für (ii) Seien zwei Mengen M und N gegeben und sei M gleichmächtig zu N. Dann gibt es nach Def. eine Bijektion von M nach N. Also gibt es auch eine Bijektion von N nach M ..... (nämlich welche???), also ist N gleichmächtig zu M, also ist die Relation symmetrisch.
Für (iii): Seien drei Mengen M, N und U gegeben und sei M gleichmächtig zu N und N gleichmächtig zu U. Dann gibt es nach Definition Bijektionen... also gibt es eine Bijektion... also ist M gleichmächtig zu U... also ist die Relation transitiv.
Die Lücken musst du jetzt füllen.