Warum kommt es bei eigenwerte zum Verlust einer Dimension?
(A-eigenwert*Einheitsmatrix)v=0.
Wieso wird dann die Determinante null? Da der Kern ausgeschlossen ist wegen v != 0?
3 Antworten
Es soll ja gelten
A*v = lambda*v
Nun setze zwischen Lambda und v die Einheitsmatrix. Ziehe lambda*E*v auf beiden Seiten ab und klammere v nach rechts aus.
Gefordert ist nun, dass es eine vom Nullvektor VERSCHIEDENE Lösung v_0 dieses Gleichungssystems gibt, nämlich gerade den Eigenvektor. Und dies ist nur der Fall, wenn das Gleichungssystem unterbestimmt ist, d.h. die Matrix
A - lambda*E
nicht regulär ist oder eben auch (äquivalent) deren Determinante gleich 0 ist.
Die Definition eines Eigenvektors v zum Eigenwert a ist
Av = av
Was da steht ist also nur
(A - aE) * v = Av - aEv = av - av = 0.
v liegt also im Kern von A-aE. Das ist nicht der Kern von A.
Was genau ist jetzt dein Problem? Wenn A invertierbar ist, dann ist die Determinante von A nicht Null, ja, aber wir reden von der Determinante von A-aE.
Wäre das nicht der Fall, dann würde es zu diesem Eigenwert keinen Eigenvektor und keinen Eigenraum geben können.
Außerdem bildest du den Eigenvektor doch genau so, dass diese Eigenschaft erfüllt ist. Denk einfach mal daran wie das Charakteristische Polynom definiert ist, dann sollte klar sein, dass ein Eigenwert immer dazu führt dass die Determinante dieser Matrix 0 ist, denn das forderst du ja.