Welche Dimension hat Kern und Bild?


20.06.2021, 20:46

Der Kern(h) ist y=0 und x=0

Nach Dimensionsformel: 2=0+ dim im(f) ==> dim im(f)=2 ?

 - (Mathe, Mathematik, Algebra)

1 Antwort

Hallo,

du bist auf dem richtigen Weg.

Ist f : V → W eine lineare Abbildung endlich dimensionaler Vektorräume, dann gilt die Dimensionsformel

dim(V) = dim ker(f) + dim im(f)

Sei nun g die in der Aufgabe angegebene linerare Abbildung.

Es gilt ker(g) = { (x,-x) | x ∈ ℝ} und der Vektor (1,-1) ist eine Basis von ker(g).

Nun die Dimensionsformel anwenden: es gilt

2 = dim(ℝ²) = dim ker(g) + dim im(g) = 1 + dim im(g)

Daraus folgt dim im(g) = 1

Gruß

Hey Danke sehr. Ein Schritt ist für mich jedoch nicht verständlich.

Nachdem ich (x+y,x+y,x+y)=0,0,0 gesetzt habe, bekomme ich x=ℝ und y=-x. Was ist der nächste Schritt? wie zeige ich dass es ein-Dimensional ist?

Ich kann mir das visuell vorstelllen, dass es eigentlich nur eine Linie ist im 3-Dimensionalen Raum. Aber ich muss doch formal bestimmte Schritte machen?

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@MobyHick

Du hast mit deiner Rechnung gezeigt: g((x,y)) = 0 <=> x = -y

Das heißt, dass die Vektoren aus ℝ² , die von g auf den Nullvektor des ℝ³ abgebildet werden, genau die Vektoren (x,-x) sind. Der Kern von g besteht also aus allen Linearkombinationen von (x,-x), und das sind alle Vielfachen von (x,-x).

Das ist ein Unvervektorraum des ℝ², und der wird z.B. von dem Vektor (1,-1) aufgespannt. Es gibt keinen zweiten von (1,-1) linear unabhängigen Vektor, der von g auch auf den Nullvektor abgebildet wird.

Ein Vektorraum, dessen Basis aus einem Vektor besteht, ist eindimensional.

Ich kann mir das visuell vorstelllen, dass es eigentlich nur eine Linie ist im 3-Dimensionalen Raum. Aber ich muss doch formal bestimmte Schritte machen?

Fast richtig. ker(g) ist eine durch den Ursprung gehende Gerade des ℝ², nicht des ℝ³ .

ker(g) ist ein Untervektorraumdes ℝ², im(g) ist ein Untervektorraum des ℝ³

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@eddiefox

Hey danke sehr. Könntest du mir vielleicht auch bei der anderen Aufgabe weiterhelfen (Habe ich zu meiner Frage ergänzt)? In dieser Aufgabe sieht es so aus, dass der Kern(h) leer ist, also y=x=0. Nach Dimensionsformel kommt raus, dass im(h)=2 ist. Irgendwie sieht es zu leicht aus. Mache ich irgendwo ein Fehler?

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@MobyHick

Nein, deine Überlegung ist richtig. Das Bild ist zweidimensional, weil Kern(h) nulldimensional ist.

Noch eine etwas intuitive Überlegung, also nicht streng mathematisch, aber vielleicht anschaulich:

Die zwei unabhängigen Variablen x und y eines Vektors des ℝ² (damit meine ich (x,y) ) sind nach der Abbildung durch h immer noch zwei unabhängige Variablen x und y. Die Multiplikation mit 2 ändert daran nichts.

2 Variablen, die unabhängig variieren, sind 2 Dimensionen.

Das sollte man natürlich nicht als "Beweis" schreiben, ich wollte das nur bemerken, weil es vielleicht anschaulich ist und zum Verständnis und zur Entwicklung der Intuition hilft.

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