Warum kommt eine irrationale Zahl raus, wenn man zwei rationale mit einander addiert?

Stimmt nicht.

Sogar die Summe von zwei irrationalen Zahlen kann eine rationale Zahl ergeben, Beispiel :

pi + (7 - pi) = 7

Sowohl pi als auch 7 - pi sind beide für sich alleine genommen irrational, trotzdem ist ihre Summe rational.

nein.

Hier der beweis: 2/5 + 1/5 sind 4/5

Hier kann man gut sehen das beide Rationale zahlen eine Rationale zahl ergeben.

Sogar noch eins weiter: Addition und Subtraktion 2er Rationaler zahlen ergeben immer eine rationale zahl.

Selbst Multiplikation und division.

Hier ein beleg dafür:

Addtion besteht imgrunde daraus das man nen gemeinsamen nenner braucht. Diesen erreicht man in dem man die Ganzen zahlen der nenner multipliziert. 2 Ganze zahlen multipliziert ergeben immer eine weitere ganze zahl.

Auch die zähler sind wider nur multiplkationen 2er ganzer zahlen.

Die folgende addition und subtraktion 2er ganzer zahlen ergibt wieder eine ganze zahl.

Ergo haben wir immer eine rationale zahl als ergebniss.

Die Addition zweier rationaler Zahlen ergibt wieder eine rationale Zahl.

Damit ist die Prämisse deiner Frage schon falsch.