Warum ist logarithmieren eine Äquivalenzumformung?

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4 Antworten

Versuch mal, Werte für x und y zu finden, so dass diese beiden Gleichungen x=y und ln(x)=ln(y) NICHT äquivalent sind.

Frage: Gibt es x und y so dass:    ln(x)=ln(y) obwohl x≠y
Und umgekehrt: Gibt es x und y so dass:    ln(x)≠ln(y) obwohl x=y
Nein, gibt's nicht! Das sieht man schon am Verlauf des Graphen.

Da es keine x und y gibt, für die die Äquivalenz NICHT gilt, folgt im Umkehrschluss, dass für alle x und y die beiden Gleichungen äquivalent sind :-)

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Äquivalenzumformung heißt, dass man auf beiden Seiten der Gleichung die selbe Rechenoperation vollzieht ; dies muss auch sein, da man sonst eine Ungleichung herbeiführt.

Ob ich jetzt auf beiden Seiten +trölf rechne oder logarithmiere ist hierbei egal ;  das Gleichheitszeichen "stimmt" immer noch.

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Kommentar von Rubezahl2000
02.03.2016, 23:31

Ganz so einfach ist es NICHT!
Nicht JEDE Rechenoperation, die man auf beiden Seiten der Gleichung vollzieht, ist eine Äquivalenzumformung!
Z.B. Beide Seiten einer Gleichung quadrieren, ist KEINE Äquivalenzumformung!
Multiplikation mit 0 ist KEINE Äquivalenzumformung.

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Wenn zwei Zahlen gleich sind, dann sind auch deren Logarithmen gleich → also handelt es sich dabei um eine Äquivalenzumformung; außerdem gilt es auch umgkehrt!

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Kommentar von Elsenzahn
04.03.2016, 17:49

außerdem gilt es auch umgkehrt!

Das ist sogar entscheidend dafür, dass es eine Äquivalenzumformung ist.

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Äquivalenz bedeutet Gleichwertigkeit! Wenn ich eine Gleichung oder einen Term oder ein einzelnes Glied umforme, kann es nur gleichwertig geschehen! Ich kenne also keine andere, oder doch?

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Kommentar von Elsenzahn
04.03.2016, 17:51

Beide Seiten einer Gleichung quadrieren z.B. ist keine Äquivalenzumformung. Multiplikation mit 0 schon gar nicht.

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