Warum ist ein Einheitsvektor quadriert gleich 1?
Beim Last Minute Lernen für die Mathearbeit ist mir bei der Herleitung der Hesseschen Normalenform aufgefallen, dass die Normaleneinheitsvektoren der Ebene mit einerander multipliziert werden & sich somit als 1 "wegkürzen". Ich frage mich deshalb, weshalb das so ist, um diesen Schritt besser nachvollziehen zu können.
Ich hoffe, jmd kann mir auf die Schnelle helfen. Vielen Dank für jegliche Antwort!
4 Antworten
Nun, der Einheitsvektor mit n(a | b | c) ist doch so definiert, dass
|n| = √(a²+b²+c²) = 1
Quadriert man nun, erhält man a²+b²+c²=1
n² bzw n*n ist dann eine Skalarmultiplikation:.
Allgemein gilt für die Vektorenskalarmultiplikation:
(a | b | c) * (d | e | f) = ad+be+cf
--> n*n=(a | b | c) * (a | b | c)
=a²+b²+c²
=1 (siehe oben, dort ist es auch dick markiert)
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Hat mir echt geholfen. :)
Warum ist ein Einheitsvektor quadriert gleich 1?
Umgekehrt, ein Einheitsvektor ist so definiert, dass er „quadriert“ 1 ergibt.
Das Wort ist etwas unpräzise, denn das Skalarprodukt
(1) ‹a|b› = ∑_[k=1]^{n}{a[k]·b[k]}
(im anschaulichen Raum ist n=3) zwischen zwei Vektoren |a› und |b› ist ja keine Multiplikation im eigentlichen Sinne, wie zwischen Zahlen, denn es kommt ja etwas anderes heraus, nämlich eine Zahl. Das Skalarprodukt (1) lässt sich das als Matrizenprodukt zwischen einem Zeilenvektor ‹a| und einem Spaltenvektor |b› auffassen.
Das „Quadrat“ von |a› ist sein Skalarprodukt mit sich selbst:
(2) ‹a|a› = ∑_[k=1]^{n}{a[k]²} = a²,
wobei a der Betrag von |a› ist (einschließlich eventueller Maßeinheit in der Physik). Der Einheitsvektor ist also
(3) |a›/a =: |1.a›
(auch |e.a› oder |u.a›, letzteres von engl. unit) und gibt nur noch die Richtung des Vektors an. Das ist seine Stärke. Aus zwei Einheitsvektoren lässt sich sofort der Winkel φ zwischen diesen errechnen:
(4) ‹1.a|1.b› = cos(φ) ⇔ φ = arccos(‹1.a|1.b›)
Der Einheitsvektor ist so definiert, dass er die Länge 1 hat.
Der Vektor im Quadrat hat die Länge im Quadrat. Das ist wieder 1.
Das Quadrat eines Einheitsvektors kürzt sich nicht weg, sondern bildet den Skalarwert 1. Grundsätzlich ist es ja so, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren nach der Regel gebildet werden kann:
a * b = ¦a¦ * ¦b¦ * cos (eingeschlossener Winkel)
Beide Vektoren a und b sind identisch und haben die auch noch die Länge 1 und haben demnach auch den Betrag 1. Der eingeschlossene Winkel ist gleich 0, somit ist der cos-Wert = 1. Das Skalarprodukt ergibt den Wert 1
1 * 1 * cos(0°) = 1