Warum ist die Steigung an einer extremstelle null?

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7 Antworten

Bei den Extremstellen sind so genannte waagrechte Tangenten. Und deren Steigung ist nun mal     m = 0 .

Wäre dem nicht so, könnte man die Extremwerte gar nicht berechnen, denn sie entstehen ja bei      f '(x) = 0

Das ist die 1. Ableitung, und falls du es nicht vergessen hast: du hast es in der Schule mal selbst als Grenzwert gewisser Dreiecke hergeleitet, bzw. möglicherweise dem Lehrer mit nicht allzuviel Interesse dabei zugeschaut.

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An einer Extremstelle liegt die "Tangente" parallel zur x-Achse.

Beispiel : Parabel y=f(x)= 1 *(x-3) - 3

Scheitelpunkt bei x=3 und y= - 3

Zeichne die Parabel ,die Tangente im Scheitelpunkt und messe den Winkel Alpha (a) mit deinen Geodreieck.

Alpha (a)=0°

tan(a)=m ergibt (a)=arctan(0)=0  

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Stelle Dir eine Achterbahn vor. Zuerst geht es steil hinauf bis zu dem Punkt, an dem man mit großer Geschwindigkeit in die Tiefe rauscht. 

Die Stelle, bevor es wieder abwärts geht, ist diese Extremstelle. Die Steigung endet genau dort. Deshalb ist die Ableitung hier Null.

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Mach dir bitte noch klar, dass diese Aussage eine ziemlich spezielle Art von Funktion voraussetzt, nämlich eine ableitbare (differenzierbare) Funktion.

Ein etwas anderes Beispiel liefert z.B. die Funktion f  mit  f(x) = |x|  (Betragsfunktion).  Diese hat an der Stelle x=0  offensichtlich ein Extremum, nämlich Minimum mit dem Wert  f(0) = |0| = 0 .  Die Funktion ist aber an dieser Stelle gar nicht ableitbar - eine (eindeutige) Tangente gibt es da aber nicht und also auch keine "Steigung".

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Es ist die feste Eigenschaft einer Extremstelle, keine Steigung zu haben. Es ist die Höchste Stelle eines "Berges" oder tiefste Stelle eines "Tales", die Ausrichtung dieses Punktes (wenn man ihn als sehr, sehr kurze Strecke ansieht) ist immer horizontal.

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Weil der Graph an dieser Stelle weder nach oben noch nach unten verläuft.

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Sonst würde es ja noch weiter steigen und es wäre keine Extremstelle.

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