Warum ist der Schnittpunkt der mittelsenkrechten gleichzeitig der Umkreismittelpunkt? (Schule, Mathematik, Hausaufgaben)

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im Thema Mathematik

20.12.2013, 00:28

Mathematisch langatmig, aber hoffentlich korrekt erklärt:

Die Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten A und B ist die Menge aller Punkte P, für die gilt [PA] = [PB]. (Allgemeinverständlich: für jeden Punkt auf der Mittelsenkrechten gilt, dass er den gleichen Abstand zu A und zu B hat.)
Die Mittelsenkrechte zwischen B und einem dritten Punkt C ist dann die Menge aller Punkte Q, für die gilt [QB] = [QC].
Betrachten wir nun den Schnittpunkt M der beiden Mittelsenkrechten aus den SChritten 1 und 2, so gilt 1. [MA] = [MB] und 2. [MB] = [MC]. Daraus folgt (da "=" transitiv ist) [MA] = [MC].
Hieraus folgt nun wiederum

a) (das wollten wir beweisen) dass A, B, und C alle den gleichen Abstand zu M haben und damit auf einem Kreis um M liegen, denn ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand zu M haben, und

b) nebenbei auch, dass die dritte Mittelsenkrechte zwischen den Punkten A und C durch M gehen muss, denn M hat den gleichen Abstand zu A und zu C, und ist damit ein Teil der Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand zu A und zu C haben, also der Mittelsenkrechten.

notizhelge

Nutzer, der sehr aktiv auf gutefrage ist

im Thema Schule

18.12.2013, 18:47

Stelle dir das Dreieck mit seinem Umkreis vor (oder mache dir eine Skizze). Du siehst sofort: Die Seiten des Dreiecks sind Sehnen (http://de.wikipedia.org/wiki/Sehne_%28Geometrie%29) dieses Kreises.

Die Mittelsenkrechte einer Kreissehne geht aber immer durch den Mittelpunkt des Kreises. Und darum müssen sich die Mittelsenkrechten deiner Dreiecksseiten im Mittelpunkt des Umkreises schneiden.