Warum ist der Schnittpunkt der mittelsenkrechten gleichzeitig der Umkreismittelpunkt?

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4 Antworten

Mathematisch langatmig, aber hoffentlich korrekt erklärt:

  1. Die Mittelsenkrechte zwischen zwei Punkten A und B ist die Menge aller Punkte P, für die gilt [PA] = [PB]. (Allgemeinverständlich: für jeden Punkt auf der Mittelsenkrechten gilt, dass er den gleichen Abstand zu A und zu B hat.)

  2. Die Mittelsenkrechte zwischen B und einem dritten Punkt C ist dann die Menge aller Punkte Q, für die gilt [QB] = [QC].

  3. Betrachten wir nun den Schnittpunkt M der beiden Mittelsenkrechten aus den SChritten 1 und 2, so gilt 1. [MA] = [MB] und 2. [MB] = [MC]. Daraus folgt (da "=" transitiv ist) [MA] = [MC].

  4. Hieraus folgt nun wiederum

a) (das wollten wir beweisen) dass A, B, und C alle den gleichen Abstand zu M haben und damit auf einem Kreis um M liegen, denn ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand zu M haben, und

b) nebenbei auch, dass die dritte Mittelsenkrechte zwischen den Punkten A und C durch M gehen muss, denn M hat den gleichen Abstand zu A und zu C, und ist damit ein Teil der Menge aller Punkte, die den gleichen Abstand zu A und zu C haben, also der Mittelsenkrechten.

Ich würde jetzt mal tippen, weil der Schnittpunkt in der Mitte ist:o

Weil sich die Mittelsenkrechten genau in der Mitte und damit im gleichen Abstand (Radius) zu den Eckpunkten treffen!

Weil sich die Mittelsenkrechten genau in der Mitte und damit im gleichen Abstand (Radius) zu den Eckpunkten treffen!

Das ist keine Begründung (geschweige denn ein Beweis), das ist einfach bloß die Wiederholung dessen, wonach gefragt war, nur in etwas anderen Worten.

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Stelle dir das Dreieck mit seinem Umkreis vor (oder mache dir eine Skizze). Du siehst sofort: Die Seiten des Dreiecks sind Sehnen (http://de.wikipedia.org/wiki/Sehne_%28Geometrie%29) dieses Kreises.

Die Mittelsenkrechte einer Kreissehne geht aber immer durch den Mittelpunkt des Kreises. Und darum müssen sich die Mittelsenkrechten deiner Dreiecksseiten im Mittelpunkt des Umkreises schneiden.

Dankeschön..! (:

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