Warum ist Betrag (a +b) kleiner als Betrag a + Betrag b?

Das ist nicht immer so, aber manchmal.

Der Betrag gibt sozusagen die Distanz zur Null an. |-4| ist beispielsweise 4, da die -4 vier Einheiten von der Null entfernt ist.

Wichtig ist dabei, immer erst den Betrag ausrechnen,

|a| + |b| ist nicht immer |a+b|.

Wenn wir uns z.B. einmal -2 und 3 anschauen, dann ist

|-2| + |3| = 2 + 3 = 5,

aber

|-2+3| = |-1| = 1

und somit kleiner als wenn man die einzelnen Beträge addiert.

Das muss nicht sein.

|2+3| = |2| + |3|

Du hast hier wohl einen kleinen Fehler, es muss eigentlich kleiner gleich heißen.

Für alle reelle Zahlen gilt |a+b|<=|a|+|b|

Beide Seiten sind hier größer gleich 0, somit ist das Quadrieren hier eine Äquivalenzumformung.

Die Ungleichung ist also Äquivalent zu

|a+b|^2<=(|a|+|b|)^2

Wende nun an dass |x|^2=x^2 gilt und die erste Binomische Formel, dann erhält man.

a^2+2ab+b^2<=a^2+|2ab|+b^2

Nun entfernt man auf beiden Seiten die identischen Terme (a^2 und b^2)

2ab<=|2ab|

Diese Aussage ist für alle Reelen Zahlen wahr, somit ist die ursprüngliche Aussage wahr.

Wenn a und b verschiedenes Vorzeichen haben, ist (a+b) eigentlich eine Differenz, aber ( |a| + |b| ) nicht. Deshalb gilt: (a + b) <= |a| + |b| .

Manchmal. Wenn a, b pos. natürliche Zahlen sind, stimmt das nicht. Aber, wenn b negativ ist, a pos, dann sicher.

|5-11| = 6

5 + |-11| = 16