Warum hat ein Quadrat mit einem bestimmten Umfang immer einen Flächeninhalt größer als ein beliebiges Rechteck mit gleichem Umfang, welches kein Quadrat ist?

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6 Antworten

Hallo,

man kann das auch mit Hilfe der dritten binomischen Formel ganz hübsch nachweisen:

Rechtecke, die den gleichen Umfang haben, haben immer Grundseiten, deren Länge Du einmal als a+b und einmal als a-b darstellen kannst, wobei a irgendeine Konstante ist und b irgendeine Variable zwischen 0 und a. Dann ist der Umfang dieses Rechtecks 2*(a+b)+2*(a-b)
Das ist 2a+2b+2a-2b, was zusammengefaßt 4a ergibt, denn die beiden 2b heben sich gegenseitig auf.

Egal also, wie groß b ist, bleibt der Umfang, solange sich a nicht ändert, immer der gleiche, nämlich 4a.

Für welches b nun hat ein solches Rechteck das größte Volumen?

Das Volumen eines Rechtecks ist das Produkt zweier senkrecht aufeinanderstehender Seiten, hier also (a+b)*(a-b), was laut dritter binomischer Formel dasselbe ist wie a²-b²

Für welches b wird der Term a²-b² am größten? Natürlich für b=0, denn dann wird von a² nichts abgezogen (und negativ werden kann b² ja nicht).

Wenn b aber gleich 0 ist, bedeutet dies für das Rechteck, daß seine zwei Grundseiten (also zwei senkrecht aufeinanderstehende) die Form a+0 und a-0 haben, also beide Male gleich a sind. Es handelt sich somit um ein Rechteck mit vier gleich langen Seiten, was nichts anderes als ein Quadrat ist.

Herzliche Grüße,

Willy

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Kommentar von Volens
27.06.2016, 23:38

Verblüffender Einfall!
Ich wäre auch über die Funktionen und deren Maxima gegangen, um es zu beweisen.

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Betrachte das ganze doch mal als Extremwertaufgabe:


Annahme: Ein Quadrat hat bei gegebenen Umfang den größten Flächeninhalt.


Beweis: Lösung per Extremwertverfahren


Hauptbedingung: Eine viereckige Figur soll den maximalen Flächeninhalt haben

---> f(a,b)=a*b


Nebenbedingung: Wir haben einen gegebenen Umfang c (c ist konstant und fällt beim Ableiten später weg)

c=2a+2b | -c

0=2a+2b-c | -2a

-2a=2b-c | :(-2)

a=-b+0.5c


Wir setzen dies in f(a,b) ein;

f(b)=(-b+0.5c)*b

f(b)=-b²+0.5bc


Wir leiten zwei mal ab;


f'(b)=-2b+0.5c

f''(b)=-2


Um zu ermitteln, wann f(b) maximal wird, müssen wir die Nullstellen der Ableitung f'(b) ermitteln.


0=-2b+0.5c | +2b

2b=0.5c | :2

b=0.25c


Nur dort ist ein mögliches Extremum. Um zu sichern, dass dieses ein Maximum ist, setzen wir b=0.25c in f''(b) ein und schauen, welcher Wert herauskommt.


f''(0.25c)=-2 |  -2<0, Hochpunkt bei b=0.25c


Nun müssen wir noch a ermitteln ; hier wird es dann bezüglich der Fragestellung interessant, denn es kommt tatsächlich der selbe Wert für a wie für b raus;


a=-b+0.5c  | b einsetzen

a=-0.25c+0.5c

a=0.25c


Es gilt also a=b, was zu beweisen war.

Ein Quadrat liefert, bei gegebenem Umfang, immer einen größeren Flächeninhalt als ein nichtquadratisches Rechteck mit dem selben Umfang.

Die beiden Seitenlängen sind hierbei immer 1/4 des gegebenen Umfangs  (wenn ich mich nicht verrechnet habe ; soll auch mal vorkommen ;-)  )

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Mathematisch lässt sich das in Form einer Extremwert-Berechnung (Fläche in Abhängigkeit der Seitenlängen) beweisen.

Anschaulich hat ein Quadrat einfach von allen Rechtecken das günstigste "Flächenverhältnis"

Noch günstiger ist übrigens ein Kreis, der hat die größte Fläche bei gleichem Umfang.

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Quadrat:
A1=a^2
U1=4*a

Rechteck:
A2=b*c
U2=2*b+2*c

Bedingung:
4*a=2*b+2*c
2*a=b+c
a=(b+c)/2

Damit wird A1 zu:
A1=(b^2+c^2+2*b*c)/4

Sei jetzt A2>A1:
4*b*c>b^2+c^2+2*b*c
2*b*c>b^2+c^2
b*c+b*c>b^2+c^2

Mit etwas Übung sieht man, dass das ein Widerspruch ist

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Da wir hier schöne Beweismethoden posten, bringe ich hier die rudimentäre Methode, die mit weniger starken Hilfsmitteln (wie z.B. Integralrechnung) klarkommt, aber auch nicht so ganz trivial ist. Dazu verallgemeinert diese Beweismethode den Satz für beliebige Dimensionen, nämlich dass unter den n-dimensionalen Quadern der n-Würfel die kleinste Kantenlänge bei gleichem Volumen hat. Das macht nämlich die AM-GM-Ungleichung (Ungleichung vom Arithmetischen und Geometrischen Mittel), die besagt, dass das arithmetische Mittel mindestens so groß ist wie das geometrische Mittel. Durch Termumformung bekommt man aus dieser Ungleichung (im zweidimensionalen Fall), dass ein Rechteck mit Fläche A = x * y Kantenlänge von mindestens 4√A hat, nämlich: 2x + 2y ≥ 4√(xy). Das Quadrat hat aber gerade Kantenlänge 4√(xy), also hat es die minimale Kantenlänge.

LG

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Würdest du daraus eine Extremwertaufgabe machen, dann würdest du erkennen, dass der maximale Flächeninhalt erreicht wird, wenn alle Seiten gleich lang sind.

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