Wann wiederholen sich Sinus, Cosinus und Tangens?

4 Antworten

Der Sinus, der Kosinus und der Tangens sind periodische Funktionen.

Ihre Funktionswerte wiederholen sich somit periodisch.

Beim Sinus und beim Kosinus ist eine Periode 2π oder 360° lang, es gilt also:

sin(x) = sin(x ± 2π) bzw. sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(x) = cos(x ± 2π) bzw. cos(α) = cos(α ± 360°)

Wenn du dich also auf der x-Achse 2π LE oder 360° nach rechts oder links bewegst, landest du wieder beim gleichen Funktionswert.

Beim Tangens ist die Periode π bzw. 180° lang, hier gilt also:

tan(x) = tan(x ± π) bzw. tan(α) = tan(α ± 180°)

Grundsätzlich kann man also sagen, dass sich die Funktionswerte bei allen drei Funktionen nach einer bestimmten Periode wiederholen.

Daher kann man z. B. auch sin(390°) auf sin(30°) herabkürzen. :)

LG Willibergi

Und wie kann man bei einer goniometrischen Aufgabe dann den zweiten Wert bekommen ?

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@Ungedacht

Das kommt ganz darauf an, wie deine Gleichung aussieht.

Ein allgemeines Lösungsschema für goniometrische Gleichungen gibt es nicht.

LG Willibergi

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@Willibergi

Bei z.B. sin(X) = 30°

             cos(X) = 30°

             tan(X) = 30°

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@Ungedacht

Die Gleichungen sind Schwachsinn. Der Sinus von etwas ist niemals ein Winkel, sondern ein einfacher Wert ohne Einheit.

Hast du die Gleichungen wirklich richtig abgeschrieben?

LG Willibergi

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@Willibergi

Entschuldigung ich meine

             sin(X) = 0,7
             cos(X) = 0.9
             tan(X) = 1.5

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@Ungedacht

Dann wendest du hier einfach die jeweiligen Umkehrfunktionen an, also arcsin, arccos und arctan.

Beispiel:

sin(x) = 0,7 ⇔ x = arcsin(0,7)

Da der Sinus aber periodisch mit einer Periode von 2π ist, musst du ganzzahlige Vielfache von 2π nocv dazuaddieren:

x = arcsin(0,7) + 2kπ mit k ∈ ℤ

LG Willibergi

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@Willibergi

Genau das meine ich.

Funktioniert das auch bei allen Funktionen z.B. tan + 360 sin + 180 und cos + 180 ?

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@Ungedacht

Na klar. Das funktioniert bei allen periodischen Funktionen.

LG Willibergi

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Alle diese Funktionen sind 2π-periodisch. mit einer Lösung x hast Du gleich unendlich viele: x±2kπ. Willibergi hat das ja schön ausgeführt.

Aber ich vermute, dass Du nach der zweiten Lösung innerhalb einer 2π-Periode suchst. Die Umkehrfunktionen liefern ja immer nur den Hauptwert in einem Intervall der Länge π. Den zweiten Wert findest Du mit folgenden Formeln:

  • sin(x) = sin(π-x)
  • cos(x) = cos(-x)
  • tan(x) = tan(π+x)

Beispiele:

  • arcsin(y)=π/3 (Hauptwert). Dann passt auch π-π/3=2/3·π.
  • arccos(y)=π/3 (Hauptwert). Dann passt auch -π/3.
  • arcsin(y)=π/3 (Hauptwert). Dann passt auch π+π/3=4/3·π.

Haupt- und Nebenwert führen beide zu unendlich vielen Lösungen (±2kπ). In Sonderfällen kann es aber vorkommen, dass Haupt- und Nebenwert gleich sind oder sich exakt durch 2π unterscheiden. Dann kannst Du Dir einen davon schenken.

Nach zwei Pi. Der Umfang des Kreises ist ja 2*Pi*Radius und der Radius im Einheitskreis ist ja 1.

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